信号与系统 第五章

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1、第五章连续时间系统的时域分析5.1引言单输入单输出的LTI连续时间系统，描述其输入输出关系的n阶常系数微分方程为nn1mm1ddddddCr(t)Cr(t)Cr(t)Cr(t)Ee(t)Ee(t)Ee(t)Ee(t)nnn1n110mmm1m110dtdtdtdtdtdt简写为nimjddCr(t)Ee(t)iijjdtdti0j0算子方程为D(p)r(t)N(p)e(t)5.2时域经典法求解微分方程时域经典法求解微分方程是将一个微分方程分成两个微分方程，其中的一个求所谓的齐次解，另一个求所谓的特解，最后方程的完全解r(t)是由齐次解rh(

2、t)和特解rp(t)组成的，即r(t)r(t)r(t)hp5.2.1齐次解的计算齐次方程是令微分方程的右边等于零，即nn1dddCr(t)Cr(t)Cr(t)Cr(t)0nnn1n11dt0dtdtnidCr(t)0ii或dti05.2时域经典法求解微分方程齐次方程的解称为齐次解rh(t)。t根据微分方程理论，齐次解rh(t)的形式是指数函数Ae的线性组合。特征方程为niC0ii0即nn1CCCC0nn110对于实系数的特征方程，其根是以实数或共轭复数形式出现的，分单根和重根两种情况。5.2时域经典法求解微分方程1.单根单根中

3、分实数单根和共轭复数单根两种。（1）实数单根是实数单根，对应的齐次解为tr(t)Aeh（2）共轭复数单根j是共轭复数单根，对应的齐次解为设1,2tr(t)eCcos(t)Csin(t)h12tDecos(t)tPesin(t)5.2时域经典法求解微分方程2.重根是K重根，对应的齐次解为tK1rh(t)eA0A1tAK1t微分方程的齐次解是由各个特征根对应的齐次解的相加，即nr(t)r(t)hhii15.2时域经典法求解微分方程2dddr(t)3r(t)2r(t)e(t)2e(t)例5.2-1求微分方程

4、dt2dtdt的齐次解。解齐次方程为2ddr(t)3r(t)2r(t)0dt2dt特征方程为2320求得特征根为11,22齐次解为t2tr(t)AeAeh125.2时域经典法求解微分方程432dddd例5.2-2求方程4r(t)3r(t)72r(t)6dtr(t)2r(t)0的齐次解。dtdtdt432解特征方程为47620即22(1)(22)0特征根为1,21,3,41j齐次解为tr(t)eAAtAsintAcosth12345.2.2特解的计算将激励e(t)代入微分方程

5、的右边，化简后的右端函数称为自由项。r(t)特解p的函数形式与激励有关，更与自由项函数密切相关，有时还与齐次方程的特征根有关。求特解的过程是先确定特解函数的形式，再代入微分方程的左边，使等式成立来求特解。1.自由项是多项式函数pp1KtKtKtK函数，特解一般也是同次的多项式即pp110函数，设pp1r(t)BtBtBtBppp110如果0是特征根，特解多项式函数的次数会高于自由项多项式函数的次数。5.2.2特解的计算2.自由项是指数函数at即Ke函数,分二种情况（1）a不是特征根，此时特解为atr(t)Bep（2）a是K重特征根，此时特解为Katr(t)

6、Btep5.2.2特解的计算3.自由项是正弦函数即Ksin(t)或Kcos(t)函数，且j不是特征根，特解也是正弦函数，设r(t)Bsin(t)Bcos(t)p12或r(t)Bsin(t)p1B或r(t)Bcos(t)p2B4.自由项是以上情况的的组合，特解也是相应的组合。5.2.2特解的计算p2H(p)例5.2-3已知系统的传输算子p23p2，求以下两种情况时的特解。3tt（1）e(t)e（2）e(t)er(t)解由于H(p)e(t)，求得系统的微分方程为2dddr(t)3r(t)2r(t)e(t)2e(t)dt2dtd

7、t激励e(t)是指数函数，所以先求出特征根。2特征方程为320求得特征根为11,225.2.2特解的计算3t（1）将e(t)e代入方程右边，得2dr(t)dr(t)3t32r(t)5e2dtdt3tr(t)Be，将其代由于a3不是特征根，设特解为p入方程左边，有3t3t3t3t9Be9Be2Be5e求得1B4所以特解为13tr(t)ep45.2.2特解的计算t(2)e(t)e代入方程右边，有2dr