2010-7水文统计-回归分析

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1、《水文统计》梁川C.Liang2010年9～11月1/30§7相关关系与回归分析（p.221-261）7.1相关关系y变量间的关系：++×函数关系——y＝f(x)×+×相关关系——y＝a＋bx×+回归分析——yˆb0b1xi0x概念：研究两个或多个随机变量之间的联系。相关现象广泛存在，譬如：降雨与径流之间P～R、上下游洪水之间Q上～Q下、水位与流量之间Z～Q，等。2/30三种相关的情况：a.完全相关（函数关系）b.零相关（相互独立）c.相关关系（统计相关）3/30简单相关关系——研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中应用较

2、多。直线相关：相关图解法——把(x,y)点绘在方格纸ii上，通过目测确定出相关直线的方法。4/30例：用相关图解法作出下表中降雨与径流的相关直线。5/40曲线相关：（1）幂函数y=axb两边取对数，并令lgy=Y，lga=A，lgx=X则有：Y=A+bX（2）指数函数y=aebx两边取对数，并令lgy=Y，lga=A，blge=B则有：Y=A+BX2m（3）代数多项式ya0a1xa2xamx6/30复相关——研究3个或3个yz1z2以上变量的相关关系，在水文预z3z4报中应用较多。z5相关图解法——0x7/40相关系

3、数及其误差：在直线相关情况下，r可作为两变量相关的密切程度指标。yr=0x0yr>0r<0xx008/402变量间相关程度密切与否，可用相关系数r的大小来判定：①r2=1，S1r20，y与x完全相关；yy②r2=0，S1r2，y与x零相关或非直线相关；yyy③00时为正相关；r<0时为负相关。相关系数的均方误差为:21rrn9/40在水文计算中，一般要求同期观测资料不能太少(n≥12)，相关系数丨r丨≥0.8，且回归线的均方误差S与S不得大于x

4、和xyy的10～15％。相关分析的定量计算法——当y与x，x，…，x线性相关时，可建立多元线12m性回归模型，也称为回归分析。10/407.2线性回归方程p.222Yxxxi1,2,,ni011i22immii式中，yi随机变量；xi自变量；βi回归系数；εi随机误差，2是相互独立且服从同一正态分布N(0,бε)的随机变量。随机误差εi的性质假定：独立性Cov(εi,εj)＝0(i≠j)零均值性E(εi)＝02共方差性D(εi)＝бε2正态性εi～(0,бε)11/40一元线性回归及其不同的表达形式：

5、p.224Yx或yxi011iix01若以b0、b1表示β0、β1的估计量，则观测值yi可表示为ybbxi1,2,,ni01ii式中，δi是以b0＋bixi作为Y的真值yi的近似值时的误差，称为“残差”或“剩余”。根据最小二乘原理推求β0与β1的最小二乘估计量b0及b1，则有nnn222Q(b0,b1)i(yiyˆi)(yib0b1xi)mini1i1i112/40n(yib0b1xi)0正规方程组——i1(9-17)n(yib0b1xi)xi0i1

6、经验回归方程——yˆbbx(9-19,20)01inxiyinxy其中，i1bybx和b011n22xinxi1中心化回归方程——yˆyb(xx)(9-21)1上式表明在相关图上，回归直线的斜率为b，且通过散点重心(x,y)。113/40nn若记222Sxx(xix)xinxi1i1nn222Syy(yiy)yinyi1i1nnSxy(xix)(yiy)xiyinxyi1i1n121Sx(xix)Sxxni1nn121Sy(yiy)S

7、yyni1nn(xix)(yiy)i1rnn22(xix)(yiy)i1i114/40则b1的计算公式为SSSxyyybr和byrx10SSSxxxx标准化回归方程——（9-31-32-33）SSSyyyyˆ(yrx)rx或yˆyr(xx)SSSxxx注意：区别于均方线性回归p.129。p.228例115/40估计量b0、b1的性质：p.230估计量b0、b1都是样本的函数和随机变量，也分别是β0与β1的无偏估计，并服从正态分布。2结论一：回归系数b1的波动大小不仅与бε有关，也取决于

8、观测值中变量x的分散程度，x值越分散b1波动越小，其估计越精确。16/402结论二：回归系数b0的方差不仅与误差εi的方差бε以及x的分散程度有关，而且还和观测值的个数n有关，n越大和x值越分散，b0越精确。结论三：回归系数b1和b0均服从正态分布，见式(9-4