水文统计-回归分析

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1、1/30《水文统计》梁川C.Liang2010年9～11月2/407.4多元线性回归及其数学模型p.239当y与x1，x2，…，xm线性相关时，可建立多元线性回归模型：式中，正规方程组——(9-69)和(9-70)中心化形式——(9-84)和(9-85)标准化形式——(9-98)和(9-99)3/40回归系数——用最小二乘法确定对于一个具有4个预报因子的回归方程，可导得回归系数b1、b2、b3和b4的线性代数方程组为p.249例4*多元线性回归的统计检验、回归预测的误差4/407.5非线性回归p.257线性化方法：“函数变换→线性回归→还原”曲线拟合——根据观测资料配制曲

2、线方程，当参数为非线性函数时，通过函数变换使非线性关系成为直线关系的方法。有如下几点要求：比例尺适当；曲线应通过尽可能多的点据；描绘曲线应光滑；可用两条或数条曲线表示。5/40曲线选配：（1）幂函数关系：y＝axn式中，a、n为待定系数。两边取对数，并令lgy＝Y，lga＝A，lgx＝X，则有Y＝A＋nX（2）指数函数关系：y＝aebx式中，a、b为待定系数。两边取对数，又lge＝0.4343，则有Y＝A＋0.4343bx6/40直接最小二乘法：“直接求解方程中的未知参数的最小二乘估计”设回归方程为f(x,a,b)，其中a,b为未知参数，则有若令，求得Q(a,b)＝min

3、的a^,b^作为a,b的估计值。例如：双曲线方程，其正规方程组为需由数值迭代求出近似解。7/40两步法：“先线性化，再进行直接最小二乘法”譬如，幂函数方程y＝axb。先线性化，两边取对数，并令lgy＝y*、lga＝a和lgx＝x*，则有y*＝a*＋bx*按线性回归求得然后令最后，可得到a的非线性最小二乘估计8/40非线性回归方程的评价：描述非线性回归方程与实测数据间拟合好坏的指标称为相关指数，记为R，则上式中残差平方和必须用还原后的曲线回归方程计算求出。由于曲线的方向不确定，一般地有0≤R≤1。R越小拟合越差，反之亦然。9/307.6在水文学中的应用回归分析常被应用于：水

4、文样本资料的插补和延长、拟合经验公式、制作相关图进行预报等。同时注意：必须先分析变量在成因上是否有联系，不能在两个毫不相关的变量之间硬凑出相关关系，或在两个弱相关的变量之间建立回归方程。两种不适当的用法：辗转相关和假相关10/30本章作业:p.261[9-1]和p.262[9-6]提示：根据多元线性回归分析(复相关、多元相关)原理，首先建立三个变量的直线相关关系（y^＝b0+b1x1+b2x2）的正规方程组，然后列表进行复相关计算。可参见p.249例4*练习题九、关于辗转相关和假相关的证明。十、关于多元线性回归计算问题。