函数零点与方程问题

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1、函数零点与方程问题乌鲁木齐一中马仲勋电话18999969996邮编830000一．概念1．方程的根与函数的零点函数零点对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

2、．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；7③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。二．

3、常见题型及思路函数零点问题主要有刘类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围．五是求函数零点的近似值。六是零点存在性定理。解决这些问题主要用数形结合法．1.判断函数的零点的个数（或求出函数的零点）思路：（1）解方程，求出该方程的解即可；（2）通过作出函数的图象，数形结合求解.例1．填空：（1）函数零点的个数为；（2）方程根的个数为解：（1）解方程，即于是，有，即，由于，方程有三个不同的实数根，故函数有3个零点.7（2）在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，观察两函数

4、图象有3个交点，经过检验，得方程有3个不同的实根应填3.例2．（1）试探究方程的实数解的个数.（2）当为何值时，方程在内实数解？解：（1）由得，由图象可知当或时无解；当或时，方程仅有一个实数解；当时，方程有两个实数解.（2）原方程可化为，所谓当当为何值时，方程在内实数解，即求函数方程，的值域.由于函数在上是增函数，所以得值域为因此，当时，方程在内实数解.2．利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象．例3．如图所示为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象，则x＋x的值是(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.[解析]　由图

5、象可知，函数图象与x轴交于三点，(－1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.由f(0)＝0，得d＝0，故函数解析式可化为f(x)＝x3＋bx2＋cx＝x(x2＋bx＋c)，显然－1,2为方程x2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得解得故f(x)＝x3－x2－2x.由图象可知，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，又f′(x)＝3x2－2x－2，故x1，x2为f′(x)＝0，即3x2－2x－2＝0的两根，7故x1＋x2＝，x1·x2＝－.故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝2－2×＝.[答案]　D3.估计函数的零点的范围思路：（1）利

6、用函数图象判断；（2）利用根的存在定理判断.函数零点的取值范围，即为方程f(x)＝0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理例4．函数的零点一定位于区间（）（A）（B）（C）（D）解：函数在上的图象是连续的，，，所以，，即函数的零点在区间内，选（B）.4．由零点个数确定参数的取值范围思路：根据条件建立不等式求解。根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围，主要利用数形结合的方法，根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式，通过解不等式求解其取值范围．例5．已知是实数，函数，如果函数在区间[，上有零点

7、，求实数的取值范围.解：当时，函数在区间上没有零点，下面讨论（1）方程=0在]上有重根，此时，解得当时，的重根为当时，的重根为7故当方程在[，上有重根时，（2）在上只有一个零点且不是方程的重根.此时有，解得当时，方程在上有两个相异实根，故当方程在上只有一个根且不是重根时，实数的取值范围是（3）方程在上有两个相异实根.因为，其图象的对称轴是，于是应满足（Ⅰ）或（Ⅱ）解（Ⅰ）得解（Ⅱ）得综上所述，实数的取值范围是.例6．　已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为(