函数与方程零点问题

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1、实用标准文档函数与方程1.函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

2、的根.[探究] 1.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗?是否任意函数都有零点?提示:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0呢?提示:不一定.由图(1)(2)可知.3.函数零点具有哪些性质?提示:对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其

3、函数零点具有以下性质:(1)当它通过零点且穿过x轴时,函数值变号;(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x文案大全实用标准文档)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.[自测·牛

4、刀小试]1.(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(  )解析:选C 由图象可知,选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的,不能用二分法求解.2.(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内,那么下列命题中正确的是(  )A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:选C 由题意可知,函数f(x)的唯

5、一零点一定在区间(0,2)内,故一定不在[2,16)内.3.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(  )x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0)        B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:选C 令f(x)=ex-x-2,则f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0,所以方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).4.若函数f(x)=x2-ax-

6、b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.解析:∵函数f(x)=x2-ax-b的两个零点为2和3,∴即a=5,b=-6.文案大全实用标准文档∴g(x)=bx2-ax-1=-6x2-5x-1,令g(x)=0,得x=-或-.答案:-,-5.函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是________.解析:∵f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上有零点,且f(x)为一次函数,∴f(-1)·f(1)<0,即(1-5a)(1+a)<0.∴a>或a<-1.答案:a>或

7、a<-1确定函数零点所在的区间[例1] (1)(2013·唐山模拟)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间(  )A.(-1,0)  B.(0,1)  C.(1,2)  D.(2,3)(2)(2013·朝阳模拟)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)[自主解答] (1)∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0,∴函数f(x)在R上单调递增.对于A项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-

8、3<0,f(-1)f(0)>0,A不正确,同理可验证B、D不正确.对于C项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0.(2)由条件可知f(

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