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1、第五章大数定律与中心极限定理主讲：杨延西西安理工大学自动化与信息工程学院信息与控制工程系2011.9大数定律大数定律的客观背景大量随机试验中大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率文章中字母使用频率Thelawoflargenumbers第五章大数定律与中心极限定理本章要解决的问题为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？答复大数定律中心极限定理设非负r.v.X的期望E(X)存在，则对于任
2、意实数>0,证仅证连续型r.v.的情形重要不等式§5.1大数定律设随机变量X的k阶绝对原点矩E(
3、X
4、k)存在，则对于任意实数>0,推论1设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数>0,推论2——切比雪夫(chebyshev)不等式或——马尔可夫(Markov)不等式切比雪夫(chebyshev)不等式证明切比雪夫不等式说明：D(X)越小，则越小，越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在E(X)附近，这进一步说明了方差的意义。当E(X)和D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了概率的一个上界，该上
5、界并不涉及随机变X的具体概率分布，而只与其方差D(X)和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常保守。例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计,n多大时,才能在n次独立重复试验中,事件A出现的频
6、率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)要使，求n即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得大数定律定理一、伯努里（Bernoulli）大数定律设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是每次试验中A发生的概率,则有或证引入r.v.序列{Xk}设则相互独立，记由Chebyshev不等式故在概率的统计定义中,事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率，是指：频率与p有较大偏差是小概率事件,因而在n足够大
7、时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.伯努里(Bernoulli)大数定律的意义定义a是一常数，(或则称r.v.序列依概率收敛于常数a,记作故是一系列r.v.设有若在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互独立的服从(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算术平均值,Yn依概率p收敛于其数学期望.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列定理二、Chebyshev大数定律相互独立，设r.v.序列(指任意给定n>1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差则有或由切比雪夫不等式对于任意正数ε，
8、有令n→∞，注意到概率不能大于1，即得定理的意义当n足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被切比雪夫大数定理的条件可以减弱为：不需要方差存在定理3(辛钦定理)设随机变量X1，X2，…,Xn，…相互独立，服从同一分布，具有数学期望E(Xk)=µ(k=1，2，…)，则对于任意正数ε，有定理三辛钦定理相设r.v.序列则有互独立具有相同的分布，且记辛钦定理推广则则连续，若三、大数定理的应用Chebyshev大数定理应用
9、Bernoulli大数定理应用寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径三、大数定理的应用大数定理范围应用伯努利大数定律指得是，当实验次数很大时，可以用事件发生的频率来代替事件的概率。辛钦大数定律不要求随机变量的方差存在，所以比贝努利大数定律有更广泛的应用范围。切比雪夫大数定律要求随机变量的期望和方差均存在，条件相对严格一些。大数学家雅各布·伯努利雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654-1705)1654年12月出生于瑞士巴塞尔的一个商人世家.他毕
10、业于巴塞尔大学,1671年获艺术硕士学位,后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位,但他却不顾父亲的反对,自学了数学和天文学。雅各布·伯努利在1678年和1681年的两次学习旅行,使他接触了许多数学家和科学家，丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣。1687年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授，直到1705年去世。雅各布·伯努利是在17-18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族(共产生过11位数学家)的重要成员之一。他在数学
