等差数列的性质总结

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1、第八讲：等差数列经典复习1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2．等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:推广：．从而；3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或（2）等差中项：数列是等差数列4．等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列．⑶数列是等差数

2、列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数)是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8..等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，

3、则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5)若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时，-4-2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）、若{}的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数

4、列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值．（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为基础练习A48-1【典型示例】-4-例2.(1)把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数

5、，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第104个括号内各数之和为2072(2)将正整数按如图所示规则排列：①设表示第行第列的数，则；；．②用一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰好有九个数在此三角形内，则在四个数：中，有3个数是三角形内九个数的和．【变式】两个数列，满足求证（1）若为等差数列，则数列也是等差数列；（2）若为等差数列，则数

6、列也是等差数列；-4-【例3】设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．2、已知数列为等差数列，且；3、（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=。【变式】1、设是等差数列，且，求及S15值2、（2009宁夏海南）等差数列的前n项和为，已知，,则（A）38（B）20（C）10（D）9w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2604、等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为,求.。【例4】（全

7、国文）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。【例5】在等差数列中，（1）若，前n项和为，且，求当n为何值时，最大，并求出它的最大值；（2）若，则该数列前多少项的和最小。-4-