等差数列的性质

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1、等差数列的性质知识回顾等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，当d=0时，常数函数；当d>0时，递增函数；当d<0时，递减函数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.【说明】①公式中10【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个。简言之————“知三求一”这里包含函数思想和方程思想练习：已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=性质一、任意两项的关系在等差数列中，有例1(1)已知等差数列a

2、5=10,公差d=1，求a10。(2)已知等差数列a5=10,a10=5,求公差d.性质二、等差中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。性质三、多项关系推广：若m+n=2p，则am+an=2ap。判断对错：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多已知：数列的通项公式为an=6n-1问这个数列是

3、等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？分析：由等差数列定义只需判断an-an-1(n≥2，n∈N)的结果是否为常数。解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数)∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.例2例3.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10解：a3+a

4、11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15解：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=-4-353.在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a

5、101；(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0研究性问题2.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，63.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)da

6、n=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===