线性代数下11欧氏空间与正交变换

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1、《线性代数2》杨晶第十一讲欧氏空间，正交变换，对称变换2012年5月7日1上讲复习大前提：f(x)=f(x)=(x-λ)n1···(x-λ)ns∈F[x]，σA1s特别地，当F=时，该前提总是成立.极小多项式的分解→空间V的直和分解rrmxx()()(1x)s1srr1sVKerm()Ker()Ker()1s根子空间分解定理s幂零变换,当ij时VUi且为()iU

2、i1j可逆变换,当ij时p循环子空间分解定理：σ幂零，则VTiii

3、1其中T由循环基(约旦链)决定.i约旦标准形定理2特别更正定义：设WV为子空间，则由基扩充可知，存在U使得，WU=V，称U为W的直和补空间，记为U=VW或U=VW在正向搜索法中，起始向量需要在直和补空间kerσpkerσp-1中选取；同理，下一步也需在直和补空间kerσp-1kerσp-2(1)()dLx(,,)xp中选取……以此类推pp具体如下页3幂零变换正向搜索法的一般步骤Step1：021ppp1计算：nr()()()rrr()()rr()0jjj

4、11得到最大高度，及pdr()()2rr()(1j,2,...),pjStep2：在kerσp⊝kerσp-1中选取d个线性无关的(根)向量p(1)()dxx,,p.对每个x()i可确定一条长为p的约旦链，共࢖ࢊppp࢖个(根)向量.补充题3:线性无关性(1)()dStep3：在kerσp-1⊝kerσp-2⊝Lx(,,)xp中选取dp-1pp个线性无关的(根)向量(1ddpp)(dp1).对每个x()i可确定xxpp11,,p1一条长为p-1的约旦链，共(p

5、-1)ࢊ࢖ି૚个(根)向量.p-2p-3Lx(,2(1),)(,2x()dddpppLx(1),x(dp1))Step4：在kerσ⊝kerσppp-1p-1(+dd1)(ddd)中选取d个线性无关的(根)向量xxpp-1,,pp1p2并p-2pp22确定dp-2条长为p-2的约旦链，共(p-2)ࢊ࢖ି૛个(根)向量.࢖······依此类推，一共可得到∑࢏ୀ૚ࢊ࢏ൌ࢚૚条约旦链.4021ppp1●计算：nrArArA()()()rA()()r

6、ArA()0幂iii11得到最大高度，及pdrA()()2rArA()(1i,2,...),pi零阵jj令，kpNANA()(){0}(j1,2,...,)k正向kk1(1)()dk从N()()ANA中选取个线性无关的向量dxx,,搜kkk索法()jj()()jj()对每个j1,...,dx，计算约旦链xxxkkk121流程ss11ss(1)(2)()dkNA()():()()(,,,)(,1NANANALxxxskk,,1)图

7、sss是kkk:1,=0？结束搜索否是否d=0？k5本讲提要欧氏空间，正交变换，对称变换一、复习：内积与欧氏空间(上册:§5.4)二、正交变换与正交矩阵1、定义与重要性质2、正交变换的分类三、对称变换与对称矩阵6、引言本课程讨论的主要对象：线性空间与线性变换线性空间中涉及的运算：加法与数乘相互关系：线性相关、线性无关（共线、共面等）整体思路：通过行列式，秩，特征值等，分析元素（向量）之间的线性关系，以及变换（矩阵）的线性性质。但线性关系无法表示度量性质，如：长度，角度等问题：如何在线性空间中引入

8、度量的概念呢？度量是神马7一、复习：内积与欧氏空间(上册:§5.4)几何空间R3回顾空间向量ࢻ,ࢼ的内积定义为:ࢻࢼ=

9、ࢻ

10、

11、ࢼ

12、cos,其中=<ࢻ,ࢼ>表示向量ࢻ,ࢼ间的夹角.内积ࢻࢼ有以下重要性质:(1)ࢻࢼ=ࢼࢻ(对称性)(2)ࢻ(ࢼ+ࢽ)=ࢻࢼ+ࢻࢽ(分配律)(3)(kࢻ)ࢼ=ࢻ(kࢼ)=k(ࢻࢼ)(4)ࢻࢻ0且等号成立ࢻ=૙(正定性)直角坐标系{O;i,j,k}下xixjxk123,y123iyjyk,则xyxy1122xy33.

13、一般坐标系{O;ࢋ૚,ࢋ૛,ࢋ૜}下yeeeeee1111213(),xxxAyAeeeeee为度量矩阵1232212223yeeeeee83313233n维向量空R上n维线性几何空间R3空间的推广：间Rn空间V度量性质的推广:R3中:长度夹角