信号与线性系统 管致中 第4章 连续时间傅立叶变换

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1、第4章连续时间傅立叶变换TheContinuoustimeFourierTransform本章的主要内容:连续时间傅立叶变换;傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;傅立叶变换的性质;系统的频率响应及系统的频域分析；在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。4.0引言Introduction在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性

2、延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一.从傅立叶级数到傅立叶变换我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：当时

3、，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)00由于也随增大而减小，并最终趋于0，考查的变化，它在时应该是有限的。于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。由当时,如果令则有与周期信号傅立叶级数对比有：这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换当时，于是有：傅立叶反变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。由于具有频谱随频率分布的物理含义，因而称为频谱密度函数。于是，我们得到了对非周期信

4、号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。二.傅立叶变换的收敛这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。2.Dirichlet条件a.绝对可积条件1.若则存在。也有相应的两组条件：b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。应该指

5、出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象。这两组条件并不等价。例如：是平方可积的，但是并不绝对可积。三.常用信号的傅立叶变换：1.0102.结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。对此例有103.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要

6、的意义。01显然，将中的代之以再乘以，即是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲:101000不同脉冲宽度对频谱的影响可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。(称为理想低通滤波器)与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。5.1，0，100对偶关系可表示如下:101000同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5.我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。6.若则有因为所以四.信号的带宽(BandwidthofSignals):由信号的频谱可以

7、看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:2.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关

8、系。4.2周期信号的傅立叶变换到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但由于周期信号不满足Dirichlet条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。TheFourierTran