2011春季高数期中试题选

《2011春季高数期中试题选》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、中国农业大学2010~2011学年春季学期（2011.4）高等数学A（下）课程期中考试试题题号一二三四五六七八九总分得分(注意：考试时间60分钟)一、单项选择题(本题共有3道小题，每小题5分，满分15分)，请将合适选项填在括号内．1．函数在处连续是函数在该点处存在偏导数的【】.（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不是必要，也不是充分条件．2.设是平面上以、、为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则积分等于【】.（A）（B）（C）（D）.3.已知：是一连接、两点的有向光滑曲线段，其中始点为，终点为，则【】．(A)(B)(C)(D).二、填空题(

2、本题共有3道小题，每小题5分，满分15分)，请将答案填在横线上．1.设，则.2.曲面在点(2，1，0)的切平面方程为.3.交换累次积分的次序.8考生诚信承诺1．本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行.2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信.学院：班级：学号：姓名：三、（本题满分20分）设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，.四、（本题满分20分）计算其中是沿到.8五、（本题满分30分）计算曲面积分，其中为抛物面在的部分，其法向量与轴正向成锐角.8学院：班级：学号：姓名：六、附加题（本题满分20分）.求，

3、其中是由圆和所围成的平面区域.三、（8分）设曲面是曲面上点处指向外侧的法线向量，求（1）该点处的法线方程。（2）函数在点处沿着方向的方向导数和方向导数的最大值。解：（1）曲面在其任一点处的法线向量可取为，故可取为，所以法线方程为。（2）向量的方向余弦，而，所以。方向导数最大值为。例6计算曲面积分，其中是曲面及所围成的立体的表面.分析本题中曲面由两块构成，注意把曲面方程代入被积函数以简化计算.解两曲面的交线是8消去，得到它在平面上的投影曲线为.：，故.:,,.所以原积分.八、(11分)在曲面的第一卦限上求一点，过该点作曲面的切平面，求切平面与三个坐标平面所围成

4、的四面体的最小体积.解:设切点为，其中过点的切平面方程为(4分)切平面在三个坐标轴上的截距分别为8要使切平面与三个坐标面所围体积最小，只需最小，其中满足.构造拉格朗日函数(7分)求解方程组得因驻点唯一，实际问题存在最小值，因此点为所求的点。最小值为.(11分)九、(5分)证明，其中为连续函数，为.证在中有，用截面法(3分)例19.在椭球面上（第一卦限）,哪一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积最小?解：椭球面上任一点处的切平面方程为即四面体的体积8令，得唯一驻点，由题意四面体有最小值，故.所求点为：.例20.2.1求.【解】这里函数的结构是“二中二自”.

5、因此有我们要特别指出：函数和关于中间变量与自变量的结构.与函数是一样的，在这里，与仍是以为中间变量，以为自变量，因此代入的式子中，经过整理得到8在二阶混合偏导数连续的条件下有，这样8