2011-2012高数 下(216)期中试题.doc

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1、武汉大学2011—2012学年下学期期中考试试卷《高等数学A2》（总学时216）一、选择题（每小题6分，共24分）1、已知为某个二元函数的全微分，求和的值。2、求曲面上点处的法线与面交角的正弦值。3、求母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。4、设直线，在平面上，而平面与曲面相切于，求、的值。二、（10分）证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点不可微。三、（8分）设，其中为可微函数，且，试证明：四、（8分）求曲面，，在处的切平面方程。五、（8分）　已知函数满足方程：。（1）试选取参数，利用变换将原方程变形，使方程中不出现一阶偏导数项。（2）再令，使方程变换形式。六

2、、（8分）设，具有二阶连续导数。（1）求；（2）若，且，求。七、（8分）求由方程所确定的隐函数的极值。八、（8分）设有一阶连续偏导数，又，求.九、（12分）　设有空间直线：和平面：，求：1、直线在平面上的投影直线的方程；2、投影直线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程。3、旋转曲面在点处的切平面方程。4、由旋转曲面所确定的隐函数（）在点处的方向导数的最大值。十、（6分）求常数的值，使函数在点处沿轴正向的方向导数有最大值。武汉大学2003—2004学年下学期期考试试题参考答案《微积分（下）》（总学时216）一、选择题（每小题6分，共24分）1、和；2、；3、；4、二

3、、（10分）证:因为,从而所以,在点连续.有偏导数定义知同理.所以,在点的偏导数存在，但考察,由于时,其值为,当时,其值为,所以不存在，故在点不可微.三、（8份）证　；，故四、（8分）解　利用全微分因为，故可求得，于是，将曲面方程看作题中方程组确定的隐函数，则其法向量为，在即处，，故切平面为，即。五、（8分）解　（1）由同理，，，由上述各项代入题设方程，约去得，，由题设知，令，，得，，故原方程变换为：。（2）令，，则有，，，，原方程可变换为：。六、（8分）解：（1）由复合函数求导法则可得：，所以故（2）由题设知：，即因此特征方程为，有特征根为，故再由得所以。

4、七、（8分）解:令,则,.令,则有.将代入原方程得,解此方程得于是该隐函数的稳定点为且又从而故当时有极小值,时有极大值1.八、（8分）解：九、（12分）解：（1）设为过且垂直于的平面，由直线的一般方程为所以过的平面束方程为：，即其法向量为，平面的法向量为，因此为与垂直知，所以有，于是的方程为，因此直线的方程为（2）将：，化为参数方程，设是上一点，则有若是由旋转到达的另一点，由于坐标不变且到轴的距离相等，则有所以即为所求旋转曲面方程。（3）设故有点处的切平面的法向量为故旋转曲面在点处的切平面方程为（4）因为而所以所以由旋转曲面所确定的隐函数（）在点处的方向导数

5、的最大值为。十、（6分）解：记，则令又梯度方向是方向导数取最大值的方向，而此方向的方向导数的数值应为梯度的摸，故所以有：即：