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《2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2教学案：22+221～222 恒等变换 伸压变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2」〜222恒等变换伸压变换1•恒等变换矩阵和恒等变换rioq对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵［o』对应的变换，都把自己变成自己.我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E),所实施的对应的变换称作恒篦变换.2.伸压变换矩阵和伸压变换卩「20］像矩阵c1，AI这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿X轴方向伸长或L0訂Lo1」压缩的变换矩阵，通常称做沿y或兀轴的垂肓伸压变换矩阵;对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.［说明］(1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例.(2)将平面图形F作沿兀轴方
2、向的伸压变换,其对应的变换矩阵的一般形式是*(TLrioi伙＞0)，沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是伙＞0)・■UK.才点一高频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P8］求点在变换作用下的象「丄o］［例1］在直角坐标系xOy内矩阵2对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换_02.的儿何意义，并求岀点P(4,—3)在这个变换作用下的象P.［思路点拨］根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点户在此变换下的象.［精解详析］由空_0,1兀=卫-I对应的坐标变换公式为2,这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原來的*,=2y纵坐标伸长到原来的2
3、倍；当兀=4,y=—3时，兀’=2,yf=—6,故点P在这个变换下的象为P'(2,—6).［方法・规律・小结］一、把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象).〃〃几題他臬诃％_3on1.已知矩阵M=o丄，求出点人(3,*)在矩阵M对应变换作用下的彖4'.解:0'"3"911——1224'30・•・"⑼
4、).rion2.研究直角坐标平面内正方形obcd在矩阵J对应的变换作用下得到的几何图形,其中0(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)・解：矩阵M为恒等变换矩阵，O.B、C、D在矩阵对应的恒等变换作
5、用下变成自身，即分别为0’(0,0),Bf(2,0),C1(2,2),D'(0,2),仍然是正方形O3CD考点二求曲线在变换作用下的象.,「201［例2］在平面直角坐标系兀中，设椭圆4?+/=1在矩阵A=L』对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.［思路点拨］求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标(忌，旳)满足的关系式.［精解详析］设4也，yo)是椭圆上的任意一点，点P3)，为)在矩阵4对应的变换作用下得到的点为P(xo,沖)，则有，Lyo」一2.0Jo」Jo-0'L尤0=2尤0,即・yo=yo.所以心一2,Iyo=yo、又因为点Pg),yo)在椭圆上,所
6、以伽2+为2=1,从而有xo2+yo2=f所以曲线F的方程是x2+/=l.［方法・规律・小结］、先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P(心如与P(也，旳)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程.〃〃〃氐他卑诃7////2.求圆C：x2+y2=4在矩阵A=；对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹.解：设P(x,y)是圆C:x2+/=4上的任意一点，而P1X,y)是刃在矩阵A='2.0:对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则■—'2O'X—'lx,即“xr=2x9r所h」一01J-y-以£一2'代入X+y2=4得三厂+『2=第所以方程話+手=1即
7、为所求的曲线方程,尸y・其表示的曲线的轨迹为椭圆•'a0丁23.已知圆C：x2+/=l在矩阵A=LoJ(«>0,b>0)对应的变换下变为椭圆/+十=1,求a,b的值.解：设P(xo,yo)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P(xOfy0)fx()=ax()f)o=byoL，—］则，-Vo-又因为点P(xo,yo)在圆x2+y2=1上,所以并+£=1,所以豎厶+字-=1,x2v2即圆C在矩阵A对应的变换下的象为卡+”=1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为所以«2=1,Z?2=4,又因为q>0,b>0,所以«=1,b=2.0~~20~,m2=A1Lo
8、1」L°5.已知矩阵M}，研究圆,+y2=1先在矩阵对应的变换作■2.0兀2兀2=兀1,Ji-兀2=2卫）,1『2=尹0,1V尢0=尹2,丁0=2〉'2・用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.解：设Po（xo,旳）为圆上的任意一点，在M］的作用下变为P
9、（兀］,刃），P］在胚的作用下变为卩2（兀2,力）,Xi=2xo.1『2=尹,•・・Po在圆/+/=1上,.*.%02+>?02=1.•9-^22+4y22=f2故所求曲线的方程为j+4y2=l.YINGYONG课下训练经典化.贵在触类旁通［对应学生用书P9］1.求圆?+/=9在矩阵M="1.
10、0:对应的变换作用后所得图形的面积.■
