课时3 恒等变换、伸压变换

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1、课时3恒等变换、伸压变换【学习目标】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换；2．掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示．【教学过程】1．问题情境：ABCyxO情境：给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上的一个点（向量）变换成另外一个点（向量）．反过来，平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢？如果可以，又该怎样表示呢？问题1：已知△ABC，A(－1，0)，B(0，2)，C(2，0)，它们在变换T作用前后位置保持不变，能用矩阵来刻画这一变换吗？问题2：若将△ABC上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半或各点的纵坐标不

2、变，横坐标变为原来的两倍，分别怎样用矩阵来刻画这两种变换？2．学生活动：3．数学建构：（1）恒等变换：把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换称为恒等变换．（2）恒等变换矩阵：E＝，也称为单位矩阵．（3）伸压变换：沿竖直方向或水平方向伸长或压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．（4）垂直伸压变换矩阵：M＝或N＝（k＞0，且k≠1）．①矩阵M、N确定的变换分别将平面图形沿x轴、y轴方向伸长或压缩，当时伸长，当时压缩．②恒等变换可看作伸压变换的特殊情形（）．44．数学运用：例1．求在矩阵M＝作用下的图形．例2．求在伸压变换矩阵作用

3、下变换为△ABC的原几何图形，其中A(1，0)，B(2，0)，C(4，2)，并用变换矩阵加以解释．xyOπ2πC例3．如图，已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式．例4．验证圆C：在矩阵A＝对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程．例5．求△OAB在矩阵作用下变换的结果，其中O为原点，A(－1，0)，B(0，1)．4【反馈练习】班级__________姓名__________1．已知平行四边形ABCD，A(－1，0)，B(2，0)，C(3，2)，D(0，2)，它们在变换T作

4、用前后保持位置不变，则变换矩阵M＝．2．已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在矩阵变换作用下变成正方形，则＝．3．点（－1，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（－2，－4），则m、k的值分别为，．4．若直线y＝4x－4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y＝x－1，则M＝．5．求出正方形ABCD在矩阵M＝对应的变换作用后的图形，其中A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．6．求把△ABC变成△A′B′C′的变换矩阵M，其中A(0，0)，B(2，0)，

5、C(1，1)，A′(0，0)，B′(2，0)，C′(1，2)．7．求出矩形ABCD在矩阵对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)．48．研究函数y＝2cosx在矩阵M＝对应的变换作用下的结果，并画出示意图．9．求正方形ABCD在矩阵作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(1，0)，B(0，1)，C(－1，0)，D(0，－1)．10．已知曲线经过变换T作用后变为新的曲线，试求变换T对应的矩阵M．11．求圆C：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型．12．求抛物线y＝

6、x2在矩阵作用下得到的新的曲线C，并求曲线C的函数表达式．4