2011秋期末考试(高数b解答2012.1)new

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1、复旦大学自然科学试验班、经济管理试验班2011～2012学年第一学期期末考试试卷（A卷）一．选择题（15分）xg(x)1．设函数g(x)在x0点某邻域内有定义，若lim1成立，则。x0sinxA．g(x)在x0点连续，但不可导B．g(x)在x0点可导但导数不为0C．limg(x)存在，但g(x)在x0点不连续x0D．x0时，g(x)是x的高阶无穷小量xg(x)解：由lim1，知lim(xg(x))0，limg(x)limx0。x0sinxx0x0x0g(

2、x)g(x)xxsinxlimlim110。选D。x0xx0sinxx2.已知23f(x)3xkx(k0)，当x0时，总有f(x)20成立，则参数k的最小取值是。A．32B．64C．72D．96解：2353f(x)3xkx203x20xk0显然由题设k0，要满足上述不等式恒成立（x0），需要求出53g(x)3x20x的最小值（负值）。令42g(x)15x60x0x2，但x0只能x2。8此时53g(2)32202

3、64，故k64。3.如题图，抛物线2y21x把yx(bx)(b0)与x轴所构成的区域面积分为S与S两部分，则。ABA．SSB．SSC．SSABABABD．S与S大小关系与b的数值有关AB解：两条曲线的交点满足221xx(bx)x(b(21)xx)x(b2x)0，22122得两个交点坐标为0,0和b,b，这里bb。222222bbbS2x(bx)(21)x2dx2bx2x2dx‘A001222b

4、bbSSx(bx)dxSSSS。选B。ABBABA0612二．填空题(15分)n531．limn。nnnnnnn5553552解：nnn5，而nnnnnnnnlimnn1，limn21，故limn535。nnnn9txlnudu,d2y2.设1。t2(t1)，求2ylnudu,dx1解：本题为由参数方程确定的函数求导法。2tlnududy12t2lnt22t，dxtlntlnudu

5、12dyddy22t22。dx2dxdxtlntlnudu13.设一平面经过原点及M(6,3,2),且与平面4xy2z8垂直，则此平面方程为。解：所求平面的法向既与OM(6,3,2)垂直，亦与平面4xy2z8垂直，故xyz63202x2y3z0。412三．计算题（20分）1.yx设函数yy(x)由方程xy确定，求y(1)。解：yxylnxxlnyxyee，两边求导，2ylnxyxlnyxxylnyye(yln

6、x)e(lnyy)y，y(1)1，y(1)1。2xyxylnxx22.求xx23dx。xx22xx2x12x2x12x解：23dx2263dx263C。2ln2ln62ln3112x3.利用Taylor展开式求极限lim1ln。23x0xx2x10x12x2xx解：lnlnln1ln12x1x22223233x1x1x2x1x1x2x

7、3(x)(x)x(x)，2223222232123112x11x3limx0123lnlimx0123x(x)xx2xxx1231(x)11lim1。x012x31224.求由抛物线(y2)x1和与抛物线相切于纵坐标y3处的切线以0及x轴所围成的图形面积。11解：y3，x2；2(y2)y

8、1yy。002(y2)y3201y3处的切线方程为y3(x2)或x2y4，所围成的图形面积0232S(y2)1(2y4)dy9。0ln(1x)四．试就p的不同取值,判断反常积分dx的敛散性。（8分）0xpln(1x)1ln(1x)ln(1x)解：dxdxdx。0xp0xp1xp1pln(1x)1ln(1x)33因为limx21，所以dx当p时收敛，当px0xp0xp22时发散；p1ln(1x)