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1、安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A（三）》（A卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1、B2、C3、D4、D5、A二、填空题（每小题2分，共10分）⎛⎞011−⎜⎟6、-1，-27、021−8、309、910、（19.77，20.05）⎜⎟⎜⎟100⎝⎠三、计算题（本大题共4小题，其中第11题和第13题各10分，第12题14分，第14题12分，共46分）11、解：将第一行的-1倍加到其余各行，得xaa"a123naxxa−−00"1122Dax=−00xa−"n1133"""""ax−−00"xa11nnx−a11再将第ii(2=,3,,"n)列的倍
2、加到第一列，得x−aiinaxa()−i11xa12+∑a3"ani=2xaii−00xa−"022D=n00xa−"033"""""000"x−annnaxa()−i11=+()x12∑(xaxaxa−2)(3−3)"(nn−)i=2xaii−nai=+(1∑)(x112233−axaxa)(−)(−)"(xann−)i=1xaii−12、解：(1)λ−400
3、λλλEA−=
4、0−−=−−−42(2)(λ4)(λ6)024−−λ第1页共5页令(2λ−−−=)(4λλ)(6)0，得λ=2,λλ==4,6.123当λ=2时，解下列方程组1⎧−=20x1⎪⎨−22xx−=023⎪⎩−22xx−=
5、023T得特征向量α=−(0,1,1)；1当λ=4时，解下列方程组2⎧−20x=3⎨⎩−20x=2T得特征向量α=(1,0,0)；2当λ=6时，解下列方程组3⎧20x=1⎪⎨220xx−=23⎪⎩−22xx+=023T得特征向量α=(0,1,1)。3(2)由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，所以只需将(1)中得到的特征向量单位化即可得到正交矩阵。将特征向量α,,αα单位化得12322TT22Tβ=−(0,,)，β=(1,0,0)，β=(0,,)1232222⎛⎞⎜⎟010⎜⎟⎛⎞200⎜⎟22−1⎜⎟令Q=0，从而Q为正交矩阵，并且QAQ=040，⎜22⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟006⎝⎠⎜⎟
6、22⎜⎟−0⎝⎠22⎛⎞200⎜⎟即所求的对角矩阵为040。⎜⎟⎜⎟006⎝⎠(3)由(2)知⎛⎞⎛⎞200200⎜⎟⎜⎟−1TA==QQ040QQ040⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠006006所以第2页共5页⎛⎞k⎜⎟400k⎛⎞200⎜⎟kkkkkk⎜⎟T⎜⎟26+−26+AQ==⎜⎟040Q⎜⎟022⎜⎟006k⎜⎟⎝⎠−+2626kkkk+⎜⎟⎜⎟0⎝⎠2213、解：二次型的矩阵为⎛⎞222−⎜⎟2a−4⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−245各阶顺序主子式为222−22
7、2
8、2=，=24a−，24aa−=2(3−10)，2a−−245由于二次型正定，所以各阶顺序主子式均大于0，即⎧2(3a−10)>0⎨
9、⎩240a−>解得a>10/3。14、解：(1)由于f(,)xy为(,)XY的联合密度函数，所以+∞+∞∫∫f(,)xydxdy=1−∞−∞即1142[]Cxydydx=C=1∫∫−1x22121所以C=4(2)P(0≤≤=XY)∫∫fxydxdy(,)0≤≤xy2111222112==∫∫x[]ydydx∫x(1)−xdx4800x211247=−∫()xxdx=8200四、证明题（本大题共2小题，每题12分，共24分）215、证明:（1）由于AAE−−=670，所以()AEAE+(7−=)0，下用反正法：−1若AE−7可逆，则AE+=0(iAE−7)=0，此与假设AE+≠0矛盾，所以AE
10、−7不可逆。2（2）由于AAE−−=670，所以(5A−EAE)()1−=2E，从而第3页共5页1[(A−5)](EAEE−=)12−11所以A−E可逆，并且()(5A−=−EAE)。1216、证明：(1)由于33+∞+∞111−+xyxyEX==∫∫xfxydxdy(,)∫∫xdxdy=0，−∞−∞−11−433+∞+∞111−+xyxyEY==∫∫yfxydxdy(,)∫∫ydxdy=0，−∞−∞−11−433+∞+∞111−+xyxyEXY==∫∫xyfxydxdy(,)∫∫xydxdy=0，−∞−∞−11−4CovXY(,)EXY−EXEY所以ρ===0，即X与Y不相关。XY,DXD
11、YDXDY(2)先求X与Y的边缘密度函数：当x>1或x<−1时，fx()0=。X当
12、
13、x≤1时，33+∞111−+xyxyfx()=fxyd(,)y==dyX∫∫−∞−142所以⎧1⎪,
14、
15、1x≤fx()=⎨2X⎪⎩0,
16、
17、1x>同理可得⎧1⎪,
18、
19、1y≤fy()=⎨2Y⎪⎩0,
20、
21、1y>易见f(,)xy和f()()xfyi在区域{(x,):
22、
23、1,
24、
25、1}yx≤y≤内并不是几乎处处相等的，所以XYX与Y不独
