3能控性及能观测性第五讲

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1、2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。”一、能控性定义及判据给出一个多变量系统（多输入、多输出）y1：ymu1：upG(s)若系统G(s)在适当的控制u(t)

2、作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。1．定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（）（）和定义在上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。则称系统在时刻是状态能控的。如果系统在有定义的时间区域上的每一

3、时刻都能控，称系统为完全能控。Ex:考查能控性？状态变量图（信号流图）：uy2202011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案由于u的作用只影响不影响，故为不能控。某一状态不能控，则称系统不能控。2．判据：对线性定常系统=Ax+Bu，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。=Ax+Buy=cx设：p输入、m输出、、给出一定理：由=Ax+Bu所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n×np阵的秩等于n。=BAB……称为能控性阵。换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n。定理证明可参考书。状态完

4、全能控称“（A，B）能控”例：则系统为二阶，n=2BAB……==rankBAB]=2=n秩的确定：最高阶不为0子式的阶次可知：系统的状态能控，称（A，B）能控信号流图：213u1,u2均对x1,x2有影响202011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案顺便：计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便：rank()=rank()为方阵其秩计算较简单。利用判定能控性方法被广泛采用。新出现的PBH秩检验法也可用于能控性判别。PBH秩检验法：系统能控的充分必要条件是：rank[B]=n。式中为A的各特征值。Ex:

5、l

6、I-A

7、=（l-1）（l-2）（l-3）l1=1，l2=2，l3=3而rank[BlI-A]=rankl3=3时，rank[B,lI-A]=2<3系统不能控。3.能控性的不变性及第二判据能控性不变性：系统的状态经线性变换其能控性不变。具有能控性前述：第一种判据使用方便，但如果系统状态不能控，难以找出究竟哪个状态失控。第二判据可以给出回答。结论（第二判据）：①具有互异特征值的系统其状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换化为对角型时，对应输入阵无全零行。亦：式中阵不含元素全为零的行202011级自动化硕士研究生《线性系统

8、理论》教案换言之，中全零行对应的状态就是不能控状态。②当系统具重特征值，且每个重特征值只对应单一约当块时，系统状态能控的充要条件是经非奇异变换化为约当型时，输入阵中与约当块末行对应行无全零行。亦：上式中每个约当块的最后一行对应的阵中的各行元素不全为零。若重特征值不对应单一约当块时，则该特征值所对应的状态能控的充要条件是相重特征值的每个约当小块最后一行对应的阵中的各行线性无关。Ex:可见，此为约当型，状态能控。（注：每个特征值对应单一约当块。）特征值=－4（二重）对应的约当块最后一行对应中第二行为全零行。可见：不能控。又

9、：（注：特征值对应非单一约当块）中相关行线性无关时能控否则不能控。4．输出能控性类似可定义输出能控性，并给出判据。输出能控的条件为：的秩为m。举例：由第二判据，判定能控性。解：1）、求P202011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案特征值=-5、=1求(I－A)之第一行代数余子式组成之代数余子式2）、B=出现全零行，故系统第二状态应不能控。　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　U　1－5可见：u能控制ex3求对应的特征向量，构造P阵可见：中与约当块对应行出现全零行与能控性相关202011级自动化硕士研究生《线性系

10、统理论》教案可以证明：具有能控标准型的系统一定能控。而且能控的系统一定可以化为能控标准型。注意：离散系统的能控性可类似给出。二、能观测性及判据能观测性是回答：能否由输出唯一确定状态x相的问题。由输出方程：y=cx(t)由于c的各元素不同，每个状态对系统输出的响应也不同，而若系统的任意状态分量从输出y(t)的观测中没有反映，那么该状