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《3第三章 能控性和能观测性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章线性系统的能控性和能观测性13.1线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性概念线性连续系统的能控性判据线性连续系统的能控性指数23.1.1线性连续系统能控性的概念1、状态能控x&(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)对于系统{A(t)，B(t)}及某一个特定的初始状态x(t)。若i0对每一个t＞t，总有定义在时间域[t，t]上的控制函数u(·)，能f00f把系统{A(t)，B(t)}从初始状态x(t)，转移到状态x(t)=0，则i0if称该系统的这一特定状态x(t)在t时刻是能控的。i00若x(t)对所有初始时刻都是能控的，则称x
2、(t)为一致能控的。i0i32、系统状态完全能控如果系统的每一个状态x(t)(i=1~n)都能控，则称该系i0统为状态完全可控，简称状态能控。物理意义是：不论初始状态在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始状态转移到原点位置。相关概念——能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制函数u(t)，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。43、线性连续系统的输出能控性x&(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)})及某一个特定的初始输出y(t)。0若对每一
3、个t＞t，总存在定义在时间域[t，t]上的控制函数f00fu(·)，能把系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}从初始输出y(t)，转0移到任意输出y(t)，则称该系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}为输f出完全能控的。物理意义是：不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出转移到指定位置。这个问题实际上是系统设计的基本问题。53.1.2线性系统能控性的判据x&(t)=Ax(t)+Bu(t)1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据线性定常连续系统{A，B}状态完全可控的充要条件是：存在时刻t>0，使如下定义的可
4、控性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。1ΔtT1−AτT−AτW(0,t)=eBBedτc1∫0证明:充分性，已知W(0,t)非奇异，证明系统完全能控。c1因为W(0,t)非奇异，那么W-1存在,因此对任意非零初始状态c1cx，可构造控制u(t)为0TT−At−1u(t)=−BeW(0,t)x,t∈[0,t]c1016TT−At−1u(t)=−BeW(0,t)x,t∈[0,t]c101t1At1A(t1−τ)x(t)=ex+eBu(τ)dτ10∫0t1TAt1At1−AτT−Aτ−1=ex−eeBBeW(0,t)xdτ0∫c100t1T=eA
5、t1x−eAt1e−AτBBTe−Aτd⋅W−1(0,t)xτ0∫c100=eAt1x−eAt1⋅W(0,t)⋅W−1(0,t)x=00c1c10结果表明，对于任一x≠0，存在有限时间t>0和控制量u(t)，01使状态由x转移到t时刻x(t)＝0。充分性得证。0117再证必要性：即系统能控那么W(0,t)一定非奇异。c1采用反证法，假设系统能控，而W(0,t)是奇异，那么一定存在c1一个非零的向量x0使下式成立TxW(0,t)x=00c10t1TT−AτT−AτxeBBe⋅xdτ=0∫000t1TTT−AτTT−Aτ[Be⋅x]Be⋅xdτ
6、=0∫000t1T2T−AτBe⋅xdτ=0∫00TT−AtBe⋅x=0,∀t∈[0,t]018TT−AtBe⋅x=0,∀t∈[0,t]其中x≠0,010而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量x找到一个控制0量u，使得t1()=At1+A(t1−τ)()=0xtexeBuτdτ10∫0t1t1−Aτ−At1A(t1−τ)x=−eeBu(τ)dτ=−∫eBu(τ)dτ0∫002Tt1ATxxx[e−τBu()d]x==−ττ000∫00t1TTT−Aτ=−u(τ)Bexdτ=0∫00向量x为零，与假设矛盾，必要性得证。091、线性定常连续系
7、统可控性的格拉姆矩阵判据线性定常连续系统{A，B}状态完全能控的充要条件是：存在时刻t>0，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。对于1ΔtT1−AτT−AτW(0,t)=eBBedτc1∫0对于初始时刻不为零的情况，格拉姆（Gram)矩阵为ΔtT1−A(τ−t0)T−A(τ−t0)W(t,t)=eBBedτc01∫t0实际上，对于线性时变系统也存在类似的能控性判据线性时变连续系统{A(t)，B(t)}状态完全能控的充要条件是：存在时刻t>t，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。10Δt1TTW(t,t)=Φ(t,τ)B(t)
8、B(t)Φ(t,τ)dτc01∫00t0102、线性定常连续系统能控性的秩判据线性定常连续系统{A，B}状态完全能控的充要条件是：能控性判别阵S行满秩，其中2n−1S=[BMAB
