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1、第29卷第10期绍兴文理学院学报Vol.29No.102009年12月JOURNALOFSHAOXINGUNIVERSITYDec.2009微分中值定理在解题中的若干应用朱智和(绍兴文理学院学工部,浙江绍兴312000)摘要:讨论了微分中值定理的内在联系及在解题中的应用,利用微分中值定理讨论导函数零点的存在性,研究函数性态,证明不等式和求极限等.关键词:微分中值定理;联系;应用中图分类号:G642.1文献标识码:A文章编号:1008-293X(2009)10-0112-05
2、人们对微分中值定理的研究,大约经历了200多年的时间,它从费马定理开始,经历了从特殊到一般、从直观到抽象、从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展过程中,逐渐认识到它们的内在联系和本质.微分中值定理就是浓缩型的普遍化,而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说:在对数学史上任一时期中人们对数学作出贡献进行评价的,那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓广开辟了广阔道路的概念,应当算作是最为深刻的概念,从广义上讲,微分中值定理就是这样的概念.微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某个区间的整体性质的有力
3、工具.它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中值定理公式架起了沟通函数与导数之间的桥梁,函数的许多重要性质如单调性、极值点、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述.由于函数在一点的导数是局部性质,只反映函数在这点近旁的性质,而实际研究中又常常要用函数全局性质,于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定理来达到这个目的.微分中值定理应用十分广泛,近10年来,我国关于微分中值定理的推广、证明方法、中间!1-6∀点的渐近性、与定理有关的证明及题中辅助函数的构造等问题的研究比较细致和深入.本文将讨论微分中值定理的内
4、在联系,并阐述它的若干应用,如利用微分中值定理的几何意义解题,讨论导函数零点的存在性,研究函数性态,证明不等式和求极限等.1微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.我们可以利用辅助函数法在罗尔定理基础上推导出另外两个定理,使它们更好地联系起来.1.1三个中值定理之间的联系定理设f(x),g(x),h(x)在!a,b∀连续,在(a,b)上可导,则至少存在一点#(a
5、,b),使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)=0.f∃()g∃()h∃()证明作辅助函数F(x),f(a)g(a)h(a)令F(x)=f(b)g(b)h(b),f(x)g(x)h(x)收稿日期:2009-12-01作者简介:朱智和(1960-),男,浙江上虞人,副教授.第10期朱智和:微分中值定理在解题中的若干应用113由行列式的性质即知,F(a)=F(b)=0.又显然F(x)在!a,b∀上连续,在(a,b)内可导,根据求导法则及罗尔定理知,#(a,b),使得:f(a)g(a)h(a
6、)F∃()=f(b)g(b)h(b)=0.f∃()g∃()h∃()证毕.特别地:%若令h(x)=1,g(x)=x,x#(a,b),f(a)=f(b),就可得到罗尔定理的结论:f∃()=0.f(b)-f(a)&若令h(x)=1,g(x)=x,x#(a,b),可以得到拉格朗日中值定理:=f∃().b-af(a)g(a)1∋若令h(x)=1,g∃(x)(0,x#(a,b),则有:f(b)g(b)1=0,f∃()g∃()0f(b)-f(a)f∃()从而可得柯西定理:=.g(b)-g(a)g∃()这样三个中值定理就很好地联系在一起,它特别用到辅助函数法,
7、恰到好处地处理了三者的关系:罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.1.2几何意义上的相互联系再从几何意义上阐述三个中值定理的联系.首先看Lagrange定理的几何解释(弦线法).如图1(a),假定可导函数f(x)的曲线上任一点的切线为T,现将AB固定,让切线的切点从A向B变动,可以发现总存在一条切线T,它与割线AB是平行的,这种平行性质在高等数学中可用Lagrange定理来f(b)-f(a)反映.Lagrange定理建立了函数f(x)在!a,b∀上平均变化率(整体性质)与该函数在(a,b)内b-a某点处导数f∃()(局部性质)
8、之间的联系
