中值定理在解高考试题中的简单应用

《中值定理在解高考试题中的简单应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、拉格朗日中值定理在解高考试题中的简单应用352200古田县第一中学黄传杰新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市质检卷中也出现大量的题目可以用拉格朗日中值定理解答.拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得.本文先面对多数学生介绍中值定理在两种题型上的应用。一、证明与或（其中）有关的问题。例1：（2011年福建省质检理19题　）已知函数（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设问是否存在

2、实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。解（Ⅰ）略（Ⅱ）该题提供的参考答案是：当时，　。假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对于任意，都有亦即考查函数，故问题等价于在上恒成立。即对恒成立。（以下同省质检参考答案）这种解法对于多数学生仍感到入口难，而应用中值定理多数学生就会感到入口容易得多，解法如下：当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于6，即对任意，都有由中值定理知存在，有即在上恒成立。（以下同省质检参考答案）例2：（2009年辽宁卷理21题）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：若，则

3、对任意，，有.（Ⅰ）略；（Ⅱ）由中值定理知（）.由（Ⅰ）得，.所以要证成立，即证.下面即证之.等价证明在上恒成立，令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即.评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量；其次的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数.为什么考虑函数？很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.二、证明与有关的问题例3：（2010辽宁卷理21）已知函数6（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）（参考答案）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少

4、，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].若用中值定理则当时，恒成立可转化为恒成立，即在上恒成立，由得当＜-1时恒成立，解得，故a的取值范围为（-∞，-2].例4：(2OO6年四川卷理第22题)已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，.证明：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由得，，令则由拉格朗日中值定理得：6下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由于，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.评注：这道题用原参考答案的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗

5、日中值定理证明，思路较为自然、流畅.对于尖子生，还可介绍两类用中值定理求解的题型。三、证明与或（其中）有关的问题例5：（2007年高考全国卷I第20题）设函数.（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是.证明：（Ⅰ）略.（Ⅱ）（i）当时，对任意的，都有(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.6例6：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时，由拉格朗日中值定理，知存在，

6、使得.由（Ⅰ）知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.从而函数在上的最大值是.由知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了用中值定理解决这类题的优越性.四、证明与有关的问题例7：（2004年四川卷第22题）已知函数.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设，证明：6.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意

7、，有由拉格朗日中值定理得，存在，使得评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具.把这个定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，为学生学好数学打下良好的基础。6