电动力学课件200319

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1、§2-1静电场的标势及其微分方程v∇⋅D=ρf一、静电场的标势vvv∂B∇×E=−F对静电场∇×E=0v∂tv∇⋅B=0v由∇×∇φ≡0可令E=−∇ϕvv∂D∇×H=J+vvvf∂tQdϕ=∇ϕ⋅dl=−E⋅dldϕP2P2vv(∇ϕ)l=∴∫dϕ=−∫E⋅dldlP1P1Pvv2即ϕ−ϕ=−E⋅dl——电势差的定义P2P1∫P1ϕ：电势或标势Pvv参考点vv2ϕ=E⋅dlϕP−ϕP=−∫E⋅dlP∫P21P讨论：1(4)给定电荷分布所激发的电势vvQvP(1)E=−∇ϕF对点电荷E=3rvv4πε0rr负号表示E的方向由高电势

2、指向低电势vQr：源点到场点的位矢(2)P1点取为零电势参考点v∞Qvv∞QQ参考点vv参考点vv沿r积分ϕP=∫r3r⋅dl=∫r2dr=4πεrϕ=E⋅dlϕ=E⋅dl4πε0r4πε0r0P2∫PP∫Pvv2ρ(x')dV'zvvvvvvvvr(3)E⋅dl=∇×E⋅dS=0∫f⋅dl=∫∇×f⋅dSF电荷连续分布时dϕ=ρP∫L∫SLSv4πεrvv0x∇×E=0vx'——静电场是保守场vρ(x')dV'∴ϕ(x)=∫yV4πεrx0Pvv2vvϕ−ϕ=−E⋅dlvP2P1∫Pp=ql[例1]求均匀电场E的电势1[例2]

3、求电偶极子的电场0解：选任一点为原点，并设该点电势为ϕ0解：P点电势vϕ=q+−q=q(r−−r+)设P点的位矢为x4πε0r+4πε0r−4πεrr0+−Pvv∴ϕ=ϕ−E⋅dlQr>>lzP0∫00zvvP2rvPvx∴r+r−≈rr−−r+≈lcosθv+P=ϕ−E⋅dlvvv+qrv00∫0Eqlcosθp⋅rvθ0有ϕ==r−vvxO4πεr24πεr3l=ϕ0−E0⋅xy00vv−qvvv1p⋅r取ϕ0=0时ϕP=−E0⋅x∴E=−∇ϕ=−∇(3)4πε0r1vvvvv13(p⋅r)rpvvE=[5−3]4πεrrp

4、⋅r1vvvv10Q∇()=∇(p⋅r)+(p⋅r)∇r3r3r3讨论：vvvvvv2p∇(p⋅r)=∇(pxx+pyy+pzz)(1)r//p时E//=3zv4πεrvvvv0r+P=pxex+pyey+pzez=pvvvpv+qvvv⊥vθrv(2)rp时E=−r1d13r3r⊥4πεr3l−∇3=(3)∇r=−4=−50−qrdrrrrrvvv13(pv⋅rv)rvpv∴E//=2E⊥∴E=[−]vdϕv4πεr5r3∇ϕ[u(r)]=∇u(r)0duvvv1p⋅rE=−∇()34πεr0v∇×E=0v二、静电势的微分方程

5、和边值关系v2、静电势的边值关系n∇⋅D=ρfP2ϕ1、静电势的微分方程v(1)介质分界面两侧h2ε2vvE=−∇ϕϕP和P为两介质界面两侧1εF对均匀各向同性线性介质D=εE12P11vv相邻的两点∇⋅D=ε∇⋅E=−ε∇⋅(∇ϕ)=−ε∇2ϕ=ρvvvvdϕ=ϕ1−ϕ2=E⋅dl=E⋅nhE2t=E1t2ρD−D=σ∴∇ϕ=−——泊松方程Qh→0∴ϕ1=ϕ22n1nfε——界面上电势连续在没有自由电荷的区域ρ=0∂ϕ2QD2n−D1n=σD=εEEn=−∴∇ϕ=0——拉普拉斯方程∂n∂ϕ∂ϕ21∴ε−ε=−σF给出边界条件即

6、可确定电势的解21∂n∂n1vvvvw=(E⋅D+B⋅H)(2)导体与介质分界面v三、静电场总能量2nPvvF由导体的静电平衡条件有2ϕF在线性介质中静电场总能量为zE,Dhεϕ=常数ρ导体1vvvP∂ϕP1W=∫E⋅DdV(1)x∞Vε=−σ2∂nvvxyQE=−∇ϕ∇⋅D=ρ(3)稳恒电流时，均匀导电介质分界面vvvvvvvvJ=Jn∴E⋅D=−∇ϕ⋅D=ϕ∇⋅D−∇⋅(ϕD)QJ=σE2n1nP2ϕv2σ2即σE=σEhϕ=ρϕ−∇⋅(ϕD)22n11n1σP1111v∂ϕ2∂ϕ1ϕ=ϕ有W=ρϕdV−∇⋅(ϕD)dV∴ϕ

7、1=ϕ2σ=σ12∫∞∫∞21∂ϕ∂ϕ22∂n∂nε2−ε1=−σvvv21∇⋅(ϕf)=∇ϕ⋅f+ϕ∇⋅f∂n∂n211vW=∫∞ρϕdV−∫∞∇⋅(ϕD)dV22由高斯公式有ρzvvvzvvϕ是电荷分布激发的电势ρv∫∫∇⋅(ϕD)dV=ϕD⋅dSρE,Dvρ(xv')dV'r∞∞ϕ(x)=xv'ϕvP∫V→0xV4πεrvPVxy1vvxyρ所激发的电场总能量x∴W=∫∞ρ(x)ϕ(x)dVv2E=−∇ϕvvv1ρ(x)ρ(x')积分体积只须包括电荷分布区域V∇⋅D=ρW=∫dV∫dV'(3)8πεVVr即W=1ρ(xv)

8、ϕ(xv)dV(2)——包括互能和自能2∫Vvvv1vvf⋅dS=∇⋅fdVW=∫ρ(x)ϕ(x)dV∫S∫V2V讨论：[例3]求带电量Q、半径为a的导体球的静电(1)可应用上面三式中任一公式计算静电场的场总能量总能量解：方法1：电荷分布于球面a1上，导体为等势