高数上第一讲：数列的极限

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1、预备知识请参考第1节内一一、一、、区间与邻域概念、区间与邻域概念容二二、二、、函数、函数（（两要素（两要素、4种特性、、运算、运算）三三、三、、基本初等函数、基本初等函数（16个个）个）yxmmmm(是常数)特特：特：y=C（（常数（常数）1.幂函数===mmmmx特特：特：y=ex2.指数函数y===a(a>>>0,a¹¹¹1)3.对数函数y===logx(a>>>0,a¹¹¹1)特特：特：y=lnxa4.三角函数y===sinxy===cosxy===tanxy===cotxy===secxy===cscx5.反三角函数y===arcsinxy===arcco

2、sxy===arctanxy===arccotx四四、四、、初等函数、初等函数：：基本初等函数经过有限次四则运算和：有限次复合所构成且可有一个式子表达的函数1上下反正弦函数yy==Arcarcsinsinxxp注注：注：：主值函数的特性：主值函数的特性:::2111、1、、定义域、定义域[[[-[---1111，，，+1]，+1]-11pp[-,]222、2、、值域、值域：22p333、3、、特性、特性：：单增：单增、、奇、奇奇、奇、、有界、有界-2每个基本函数掌握要点：对应规律、、定义域、定义域、、值域、值域、、图象、图象、、特性、特性2上下第一章函数与极限第2

3、节数列的极限一、数列极限定义二、收敛数列的性质3一一、一、数列极限定义+
数列：如果按照某一法则，，对每一个，对每一个nÎN,对应着一个确定的实数xn，，这些实数，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列x,x,x,L,x,L123n就叫数列，，记为，记为{xn}.可视xn为一种定义域为N+的的“的““整数变量“整数变量””函数”函数；x=f(n)n数列的两种几何表示：f(n)xnxxxxxx21N+++13N+++2n在直线上：1234567…在平面上：4上下例123n,,,L,,L如,234n+1nxn=n+1收敛n-1n+(-1)xn=®1(n®

4、¥)nn2,4,8,L,2,Lnxn=2®¥(n®¥)఻n+1xn=(-1)趋势不定5上下问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?n---1(---1)观察数列{1+++}当n®¥时的变化趋势.n播放6上下通过上面演示实验的观察:n---1(---1)当n无限增大时,x===1+++无限接近于1.nn7上下直观印象:若当nnn无限增大时n无限增大时,x无限接近于某一确nnn定的数值a，，就称，就称当当n当nnn®¥，，{x，{x{x{x}}}的极限为}的极限为a...nnn以下说法是等价的：xxx无限接近数值annn点点x点xxx

5、与点a距离要多近有多近nnn

6、x

7、x

8、x---a

9、

10、

11、要多小有多小

12、要多小有多小nnn？即即：即：：要使：要使

13、x

14、x

15、x---a

16、

17、

18、n>n>？n>？nnn8上下直观印象:若当nnn无限增大时n无限增大时,x无限接近于某一确nnn定的数值a，，就称，就称当当n当nnn®¥，，{x，{x{x{x}}}的极限为}的极限为a...nnn如如：如：11n---1Qx---1===(---1)===nnn11给定,只要n>>>100时,就有x---1<<<,100n10011有x---1<<<给定,只要n>>>1000时,n,10001000

19、1任意给定eeee>>>0,只要n>>>[]时,就有xn---1<<N时时,时,,,不等式不等式xn---a<<

20、就说数列是发散的...注意：1.1.1.不等式xn---a<<>>N刻画了变标n的变化程度，N与n无关！10上下几何解释:::2eeea---eeea+++eeexxxaxxx21N+++1N+++23当n>>>N时,所有的点x都落在(a---eee,a+++eee)内,n只有有限个(至多只有N个

21、)落在其外