高数上1.2.-数列极限.ppt

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1、二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的

2、引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、

3、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就

4、说数列是发散的.定义采用逻辑符号将的定义可缩写为:注①此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用

5、xn－a

6、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素(1)，正数ε，(2)，正数N，(3)不等式

7、xn－a

8、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性

9、来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由

10、xn－a

11、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式

12、xn－a

13、＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示

14、xn－a

15、＜εn＞N④定义中的不等式

16、xn－a

17、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立.⑤由于ε是任意给定的正数，自然也都是任意给定的正数，它们本质上与ε起同样的作用

18、。在以后的学习中，常用到这些等价的形式。…数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义只用来证明极限，未给出求极限的方法.若要求极限，首先要先证明极限的存在性，然后才能求极限值。例1所以,证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.解不等式利用

19、定义验证数列极限，有时遇到的不等式

20、xn－a

21、＜ε不易考虑，往往采用把

22、xn－a

23、放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N.放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明数列以0为极限.证要使由于有为了简化解不等式的运算,常常把作适当地放大.用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.有界性定理的推论：无界数列必发散.即无界数列的极限不存在.收敛的数列必有界.有界的

24、数列不一定收敛.无界的数