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1、第30卷第4期数学理论与应用Vo.l30No.42010年12月MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSDec.2010变分迭代法在某些比例延迟微分方程中的应用*白小红(长沙理工大学数学与计算科学学院,长沙,410076)摘要本文利用变分迭代法求解比例延迟微分方程。通过解一些比例延迟微分方程,说明变分迭代法能很好地得到比例延迟微分方程的解。关键词延迟微分方程变分迭代法拉格朗日乘子精确解VariationalIterationMethodforSolvingtheMulti-PantographDelayEquationsBaiXia
2、ohong(SchoolofMathematics&ComputingScience,ChangshaUniversityofScience&Technology,Changsha,410076)AbstractInthispaper,thevaritationaliterationmethodisappliedtosolvethemulti-pantographdelayequations.Theexactandnumericalsolutionsobtainedbyvariationaliterationmethod.Someexamplesaregivedtoil
3、lustratetheeffectivenessofthemethod,theresultsrevealthatthemethodisapowerfulandreliablemathematicaltoolforsolvingdelaydifferentialequations.KeywordsDelaydifferentialequationsVariationaliterationmethodLagrangemultiplierExactsolution1引言延迟微分方程是近年来发展起来的泛函微分方程的一个重要分支。在物理、生态、生物、经济中,许多问题也
4、只有用延迟微分方程来刻化才更符合实际。常见的延迟微分方程有常延迟微分方程、比例延迟微分方程、中立型延迟微分方程、随机延迟微分方程、Volterra泛函微分方程等。比例延迟微分方程在星际物质中光的吸收、解析数论、非线性动力系统等许多领域中得到广泛的应用。一般来说,在常见的时滞微分方程中,只有极少数方程能够获得方程解的析表达式。本文是利用变分迭代法求解如下形式的比例延迟微分方程:u(t)=a(t)u(t)+b(t)u(q1t)+c(t)u(q2t)+f(t),u(0)=u0,*刘振海教授推荐收稿日期:2010年1月6日变分迭代法在某些比例延迟微分方程中的应用39其中05、1,q21,u0为已知常数,a(t),b(t),c(t)及f(t)均为已知的实连续函数。通过取恰当的初始近似解,迭代出方程的解。2变分迭代法考虑下面的非线性方程:L[u(x)]+N[u(x)]=f(x)(1)其中,L为线性算子,N为非线性算子,f(x)是已知的连续函数。根据变分迭代法,方程(1)建立如下的校正泛函:xun+1(x)=un(x)+!(x,t){Lun(t)+Nun(t)-f(t)}dt,(2)0其中,是拉格朗日乘子,可用变分原理最佳识别;un表示第n次近似解;un(t)为限制变分量,即un=0[1,2]。取定初始近似解u0(x),迭代一次得到u
6、1(x),二次迭代得到u2(x),∀,最终方程(1)的解为:u(x)=limun(x)。n#∃3应用例1考虑如下常系数比例延迟微分方程:tt2u(t)=8u-27u+t+20,07、)=un(t)-!un(s)-8un+27un-s-20ds。(4)02340数学理论与应用取初始近似解u0(t)=1,则t213u1(t)=1+!(1+s)ds=1+t+t,(5)03t135213u2(t)=1+t+t-!5sds=1+t-t+t,(6)3023t5213525273u3(t)=1+t-2t+3t-!0-sds=1+t-2t+6t,(7)25273u4(t)=1+t-t+t(8)26!5273因此,u(t)=limun(t)=1+t-t+t,这不是方程的精确解。n#∃26例2考虑如下变系数比例延迟微分方
