变分迭代法求解积分微分方程

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1、第18卷第2期江苏技术师范学院学报Vol.18,No.22012年4月JOURNALOFJIANGSUTEACHERSUNIVERSITYOFTECHNOLOGYApr.,2012变分迭代法在求解积分微分方程中的应用姜兆敏，周友明，李晓静（江苏技术师范学院数理学院，江苏常州213001）摘要：讨论了如何将变分迭代法应用于求解积分微分方程，对于线性积分微分方程，通过选取恰当的初始近似值，应用该方法只需迭代一次就得到了方程的精确解。关键词：变分迭代法；积分微分方程；精确解中图分类号：O175.6文献标识

2、码：A文章编号：1674-8522（2012）02-0069-040引言[1][2,3]1978年Inokcuti提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法，He对该方法作了改进，并发展成为一种新的非线性分析方法—变分迭代法。这种方法可以有效地解决各种线性、非线性和具有初值、边界值条件的问题,是一种有效地、逐步提高近似解精度的方法。[4,5]近年来，变分迭代法已被广泛地应用到各种微分方程问题中。如：高阶边界值问题，发展型方[6,7][8][9,10]程，时滞微分方程，积分微分方程。用该方法求解积分微分方程

3、近似解比较常见，但对于求解积分微分方程的精确解目前研究较少，本文用三个例子具体讨论了如何用变分迭代法求解一类积分微分方程的精确解。1变分迭代法为了阐明变分迭代法的思想，以下面形式的非线性微分方程为例说明，，（1）其中L为线性算子,N为非线性算子,g（x）为连续函数。方程（1）的校正泛函可表示为，（2）上式中λ（s）为拉氏乘子,它可以用校正泛函取驻值条件来确定；y（nx）为方程(1)的n阶近似解,y軇n为yn的限制变分量,即δy軇n=0。选择y（0x）为初始近似解，它可以含有未知常数或未知函数，但是y

4、（0x）必须满足初值或边值条件，利用λ的值和选择的初始近似解y（0x），根据迭代公式（2）,可以逐步求得方程(1)的近似解序列y（1x），y（2x），收稿日期：2011-10-08；修回日期：2012-03-12基金项目：江苏技术师范学院青年科研基金项目（KYY11086）作者简介：姜兆敏（1977-），女，山东临沂人，讲师，硕士，主要研究方向为微分方程及其应用。70江苏技术师范学院学报第18卷y（3x），…，且近似解的阶数越高,近似解精度越高。本文主要考虑应用变分迭代法求解具有下面形式的积分微分方

5、程，（3）初值条件：，这里（fx）,w（x,t）为已知的连续函数，m,n为整数，且m

6、,将λ=-1代入（5）式,得到以下迭代公式，（7）xex根据方程（4）,选取初始近似解y（0x）=ae，将其代入迭代公式（7）,经过一次迭代计算得:y1(x)=a-(a-1)xx(e-1)+(a-1)x，再由初值条件y（0）=1，求得a=1，则y（1x）=e，此为方程（4）的精确解。例2考虑文[11]中的二阶积分微分方程。（8）方程（8）的校正泛函可表示为，（9）其中。第2期姜兆敏周友明李晓静：变分迭代法在求解积分微分方程中的应用71对（9）式进行变分,得以下驻值条件可以识别拉氏乘子λ=s-x,将其

7、代入（9）式,得到以下迭代公式，（10）xx根据方程（8）,选取初始近似解y（0x）=ae+b，将其代入迭代公式（10），经过一次迭代计算得y1(x)=ae+b+x131x(a-1)(x-e+1)-x(1-a-b)，再由初值条件y(0)=1,y’(0)=1求得a=1,b=0,则y（1x）=e,此为方程(8)的精确62解。例3考虑文[11]中的三阶积分微分方程。（11）方程（11）的校正泛函可表示为，（12）其中。对（12）式进行变分,得以下驻值条件12可以识别拉氏乘子λ=-（s-x）,将其代入(12

8、)式,得到以下迭代公式2，（13）根据方程（11）,选取初始近似解y0(x)=acosx+bsinx+c,将其代入迭代公式（12）,经过一次迭代计算得121π4y1(x)=acosx+bsinx+c-（a-1）(x+2cosx-2)+b(x-sinx)+[a-1+(1-b)]x，再由初值条件y(0)=1,y'(0)=0,2242y''(0)=-1求得a=1,b=0,c=0,则y1(x)=cosx,此为方程(11)的精确解。3结论本文应用变分迭代法求解了一类积分微分方程