序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用new

《序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第17卷　第2期工　程　数　学　学　报Vol.17No.22000年5月May2000JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号:100523085(2000)0220131204a序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用张庆政(商丘师专数学系,河南商丘476000)摘　要利用锥理论和单调迭代技巧,研究序对称压缩的混合单调算子方程解的存在唯一性,并给出迭代序列收敛于解的误差估计。作为应用,讨论了不具有单调性的算子方程的可解性,改进和推广了某些已知结果。关键词　序对称压缩算子,解,锥与半序分类号　AMS(1991)47H10　　　中图分

2、类号:O177.91　　　文献标识码:A1　引　言[1～7]在研究算子方程A(x,x)=x求解问题的已有文献中,一般要求算子具有某种连续性或紧性,或要求空间(锥)具有较好的性质。本文对算子的连续性和紧性不作任何假定,利用锥理论、上下解方法和单调迭代技巧,讨论了序对称压缩的混合单调算子方程解的存在唯一性,并给出几种迭代序列依范数收敛于解的误差估计式。最后利用所得结果研究了非单调算子方程的可解性,改进了文[2,3,5,8]中的某些结果。本文总假设E为具有正规锥P的半序Banach空间,其半序≤由P导出,N为P的正规[9]常数。有关混合单调算子概念参见文[1]。设

3、D

4、　　　第17卷本文总假设A:[u,v]×[u,v]→E是混合单调且压缩常数为A的序对称压缩算子。3定理1设u≤A(u,v),A(v,u)≤v,则(i)方程A(x,x)=x在[u,v]中存在唯一解x,3且其任意耦合解(x,y)∈[u,v]×[u,v]都有x=y=x;(ii)Px0,y0∈[u,v],作迭代序3列xn=A(xn-1,yn-1),yn=A(yn-1,xn-1),都有úxn(或yn)-xú→0(n→∞),且有误差估计3núxn(或yn)-xú≤2NAúu-vú,n=1,2,3,⋯;(1)特别对u0=u,v0=v作迭代序列un=A(un-1,vn-1)

5、,vn=A(vn-1,un-1),有误差估计úun(或3nvn)-xú≤NAúu-vú,n=1,2,3,⋯.证明　考察迭代序列{un}与{vn},由A混合单调及归纳法易知,u≤un≤un+1≤vn+1≤vn≤v,n=1,2,3,⋯,由A序对称压缩及归纳法可得nH≤un+p-un,vn-vn+p≤vn-un≤A(v-u),n,p=1,2,3,⋯,3再由A∈[0,1)及P正规不难推得,{un}与{vn}依范数收敛于同一极限x∈E。由un≤un+p33333≤vn令p→∞得un≤x≤vn,从而un+1≤A(x,x)≤vn+1,令n→∞得x≤A(x,333x)≤x,

6、故x是方程A(x,x)=x在[u,v]中的解。设(x,y)∈[u,v]×[u,v]是方程A(x,x)=x的任意耦合解,由归纳法易证un≤x≤33vn,un≤y≤vn,取极限得x=y=x,进而x是方程A(x,x)=x在[u,v]中的唯一解。考察迭代序列{xn}与{yn},由归纳法可得un≤xn≤vn,un≤yn≤vn,从而H≤xn(或yn)333-un≤vn-un;又H≤x-un≤vn-un,H≤vn-x≤vn-un,故有úun(或vn)-xún3n3≤NAúu-vú,úxn(或yn)-xú≤2NAúu-vú,n=1,2,3⋯,于是有úxn(或yn)-xú→0

7、(n→∞)。注2若将定理1的条件换为u+B(v-u)≤A(u,v),A(v,u)≤v,或u≤A(u,v),A(v,u)≤v-B(v-u),其中B≥0,则其结论仍成立,而且有(i)Pw0,z0∈[u,v],作对称-1-1迭代wn=[A(wn-1,zn-1)+Bwn-1](1+B),zn=[A(zn-1,wn-1)+Bzn-1](1+B),都33有úwn(或zn)-xú→0(n→∞),且有误差估计úwn(或zn)-xú≤2N[(A+B)(1+-1n[2]B)]úu-vú,n=1,2,3,⋯;(ii)当A+B<1时,对u0=u,v0=v作非对称迭代un=A(un-

8、1,vn-1)-B(vn-1-un-1),vn=A(