算子方程的数字求解

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1、算子方程的数值求解施国兴10802071前言在《数值分析》介绍过解线性方程组的直接方法，迭代法和非线性方程的迭代法。迭代法最关键的也就是不动点定理.定理：设{X,ρ}是完备的度量空间的压缩映射必定在X上存在不动点。本课程主要内容：1）线性算子方程的近似解法2）算子方程式的迭代求解主要内容•线性算子方程的近似解法有限基法有限差分法Galerkin法配置法定理8.1.1推论例8.1.1例8.1.2线性算子方程的近似解法设X是Banach空间，T:X→X是线性算子；给定fX,求xX,使得：Txf(8.1.1)式（8

2、.1.1）就是线性算子方程。它的近似解法有两种类型：1）有限基法2）有限差分法有限基法的Galerkin方法。•设X假定为可分Hilbert空间，选择{ei}是其直交规范基，令n(n)(n)xce(8.1.2)iii1假定T=I-X，其中A属于X→X赋范线性空间的有界算子，且A1，则(8.1.1)可近似成：(n)(n)xAxf(8.1.3)(n)为了求解ciR,i1,2,...,n,使得方程式（8.1.3）成立，只需求解下列方程组：n(n)nccAe,ef,e,j1,2,...,n(

3、8.1.4)jiijji1算法的精确性是依懒于{ei}和n的选择。有限基法中的配置法假定X是[0,1]区间上函数构成的赋范线性空间，选择X中一组线性独立元e1,e2,…,en,令式（8.1.2）仍表示x的近似表示，假定T=I-X，其中A假设如前，则式(8.1.1)可近似成：n[(IA)x](t)f(t),k1,2,...,n(8.1.5)kk其中0tt...t1。12n(n)这样，为了求解cR,i1,2,...,n,使得方程式（8.1.3）i成立，只需求解下列方程组：n(n)[e(t)(A

4、e)(t)]cf(t),k1,2,...,n(8.1.6)ikikiki1算法的精度是依懒于{ei}和n的选择。一个例子：例8.1.1例8.1.1，考虑如下线性时变常微分方程x(t)A(t)x(t)B(t)u(t),t[0,1]~(8.1.7)x(0)xnn其中x(t)R,u(t)R;假定Cn,[0.1],则T:可表示为：tT(x)(t)x(t)A()x()dt,t[0,1](8.1.8)0再令~tf(t)xB()u()dt,t[0,1](8.1.9)

5、0而（8.1.7）等价如下方程：~ttx(t)xB()u()dtB()u()dt,t[0,1](8.1.10)00一个例子：例8.1.1显然有算子方程成立，如下：Tx(IA)xf只要满足A属于X→X赋范线性空间的有界算子，且A1，则由配置法所得近似解：m(m)(m)x(t)ce(t),t[0,1](8.1.12)iii1有限差分法导言X是[0,1]区间上函数构成的赋范线性空间，对于xX，设有xix(ti),i1,2,...,n,其中at1t2...tnb，则：x在

6、ti的导数可近似成前向差分：x(t)[x(th)x(t)]/h(8.1.13)iii其中h>0为ti的增量。又设f是定义在x上的函数，则积分可近似表示为：bnf(x(t))dtf(x(t))(8.1.16)iiai1其中wi为”权系数”，ti的划分由不同方式选择。有限差分法的使用步骤1)这样，对式（8.1.1）的线性算子方程式，假定利用有限差分可求得（Tx）(ti)；或者当T=I-A,A:X→X时：求得(A(x))(ti),这边得到一组n个代数方程：x(t)(Ax)(t)f(t),i1,2,

7、...,n(8.1.17)iii其中(A(x))(t)是(x(t),…,x(t))的函数。i1n2)又设xx(t),i1,2,...,n是利用式（8.1.17）的代数方i0i程组求得的离散数值解。3)利用插值可得原方程的近似解x0;4)这边得到如下的误差限的估计。定理8.1.1定理：在前述的假设条件下，假定A1，而x是式（8.1.1）线性算子方程的严格解，即x=f+Ax;又设x1=f+Ax0,则有如下误差界限公式：xxxx/(1A)8.1.18010xxAxx/(1A)8.1.19110证明

8、：由于x-x1=A(x-x0),则有：xxAxx10并且注意到x-x0=x-x1+x1-x0,则有：xxxxxx0110结合以上两个不等式则得式（8.1.18）,同时注意到第一个不等式，并利用式（8.1.18）两边同乘以A，即得式（8.1.19）.推论推论：当X采用一致范数时，必有：xx(t)xx/(1A),i1,2,...,n8