2013年12月广东文科分类汇编――圆锥曲线

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1、2013年1—2月广东文科分类汇编――圆锥曲线　18．（本题满分14分佛山市）如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．18．（本题满分14分深圳市）解析：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，-----------------5分由得，平面．-----------------6分（注：证明平面时，也可以由平面平

2、面得到，酌情给分．）法2：∵为圆的直径，∴，∵在中，，∴由，得，，，，∴，则，∴，即．-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，-----------------5分由得，平面．-----------------6分法3：∵为圆的直径，∴，在中由得，，∵，由得，，，由余弦定理得，，∴，即．-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，-----------------5分由得，平面．-----------------6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知，，-----

3、---7分（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）∴．--------10分又，，，第15页2013年1—2月广东文科分类汇编――圆锥曲线　∴为等腰三角形，则．--------12分设点到平面的距离为，由得，，解得．--------14分PABDCOEF法2：由（Ⅰ）可知，，过点作，垂足为，连接，再过点作，垂足为．-----------------8分∵平面，又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴，又，∴平面，故为点到平面的距离．--------10分在中，，，在中，，即点到平面的距离为．-------14分20．（本题满

4、分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；B（第20题图）（2）如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，．求证：为锐角．20．解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得,又，∴.…………………………………………2分第15页2013年1—2月广东文科分类汇编――圆锥曲线　∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得.…………………………………………5分∴，故椭圆C的方程为.…………………………………………6分（2）设，…………………………………………7分∵

5、，∵，∴，∴直线的方程为．…………………………………………9分令，得．∵，，∴．∴，．∴∵，∴，∴………………12分∵，∴．又、、不在同一条直线，∴为锐角.…………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．17．（本小题满分14分潮州市）已知点、，若动点满足．（1）求动点的轨迹；（2）在曲线上是否存在点，使得的面积？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．17．解：（1）设动点，又点、，∴，，．………3分由，得，………4分第15页2013年1—2

6、月广东文科分类汇编――圆锥曲线　∴，故，即．∴轨迹是焦点为、长轴长的椭圆；………7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分．（2）设曲线上存在点满足题意，则．………9分∴，又，故．………11分又，故．………12分∴．………13分∴曲线上存在点使得的面积．……14分20.（本小题满分14分东莞）在平面直角坐标系XOY中，已知三点O（0,0），A（－1，1），B（1,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足。（1）求曲线C的方程；（2）设点P是曲线上任意一点，过原点的直线L与曲线交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，并记为，试

7、探研的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；（3）设曲线C与轴交于D，E两点，点M（0，m）在线段DE上，点P在曲线上运动，当点P的坐标为（0,2）时，取得最小值，求m的取值范围解：（1）由题意可得，，…………1分所以，…………2分又，…………3分所以，即.…………4分（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，所以可设.…………5分因为在椭圆上，所以有，………①第15页2013年1—2月广东文科分类汇编――圆锥曲线　，………②…………6分①-②得.又,，…………7分所以，…………8分故的值与点的位置无关，与直线也无关.…………9分

8、（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且.…………10分因为，所以………12分由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，