banach空间中微分方程解存在性和可控性

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1、ExistenceandControllabilityofSolutionstoSomeDifferentialEquationsinBanachSpacesBvShaochunJiSupervisor：Prof．GangLiSchoolofMathematicalScienceYangzhouUniversiVApril，2013Submittedintotalfulfilmento{therequirementsfolrthedegreeofPh．Dj佗BasicMathematics中文摘要Banach空间中微分方程理

2、论是非线性泛函分析的一个重要研究分支，近年来已被广泛应用于偏微分方程、工程技术、控制理论等诸多领域中，例如，算子半群可将发展型偏微分方程转化为抽象空问中的微分方程，从而按统一框架研究偏微分方程．现代控制理论与数学各个分支的联系日益密切，可控性则是控制理论中的基本概念．因此在一定条件下，研究Banach空间中微分方程解的存在性与可控性具有重要的理论和现实意义．本文主要研究Banach空间中的脉冲微分方程和分数阶微分方程，利用算子半群理论、非紧测度、逼近解等方法，先研究几类泛函微分方程解的存在性，然后将其应用到微分系统的控制问题

3、中．本文具体内容由以下五个章节组成．本文第一章简要地介绍与本论文研究问题有关的背景知识及我们的主要工作，第二章主要研究如下具有非局部条件的脉冲微分方程解的存在性I乱沁)=Au(t)+f(t，u(观t∈[0，6】，t≠ti，《u(O)=夕(u)，IAu(ti)=厶(u(屯))，江1，⋯，s，其中A是一个线性算子(不一定有界)，生成强连续半群；g是非局部项；厶是脉冲函数．本章主要使用算子半群理论、非紧测度和不动点方法．在2．1节中，我们介绍一些非紧测度的概念和性质，并证明与脉冲函数密切相关的分段连续函数空间中非紧测度的一个重要性

4、质(见引理2．1．5)．2．2节给出本章的主要结论，即脉冲微分方程在不同条件下适度解的存在性条件．利用我们证明的非紧测度性质和Darbo不动点定理，我们在算子半群等度连续的条件下，分别得到了紧性条件，Lipschitz条件和混合型条件下，上述非局部脉冲微分方程的适度解．2．3节中给出这些结果在偏微分方程中的应用．第三章主要讨论脉冲微分包含解的存在性l让≮)∈Au(t)+F(t，乜(观t∈【0，6】，t≠厶：{仳(o)=夕(孔)，IAu(h)=厶(铭(屯))，i=1，2，⋯，P，0

5、文其中A：D(A)≤x_义是线性算子，生成Banach空p'．-l(x，”II)中强连续半群丁(·)，F是上半连续的多值函数．我们将第二章中单值脉冲微分方程的讨论扩展到多值的情形，但方法和主要着眼点与第二章是不同的．我们在算子半群为紧半群条件下，对非局部项g非紧非Lipschitz连续的情况进行研究．主要运用逼近解的技巧和多值分析的方法．3．1节中回忆多值分析的一些概念及多值映射不动点定理．3．2节，构造脉冲微分包含的逼近闯题，证明逼近解解集是相对紧的：进而得到原来脉冲微分包含问题解的存在性．第四章致力于研究如下半线性脉冲微

6、分系统的可控性lz7(t)=A(t)x(t)+f(t，z(t))+(B“)(亡)ja．e．OD[0如】，{Ax(ti)=z(亡产)一z(t_)=厶(z(屯))，i=1，⋯，s，Iz(o)+M(x)=Xo，其6PA(t)是一族线性算子，生成一个发展算子c捞≯U：△={(亡，8)∈[0，b]×[0，b】：0≤S≤t≤b)_L(x)，这里X是Banach空间，L(X)是空间X上有界线性算子的全体；B是从Banach空间y到X的有界线性算子，控制函数u(．)∈L2([o，6]-y)．本章我们利用非紧测度的方法，在发展系统不具有紧性的

7、条件下，研究脉冲微分系统的精确可控性．具体地，在定理4．2．1中，我们使用MSnch不动点定理，讨论脉冲微分系统在发展系统u(t，s)等度连续条件下的可控性；在定理4．2．2中，通过构造一个新的非紧测度，我们只假设生成的发展系统是强连续的，既不需要紧性，甚至也不需要等度连续性，证得脉冲微分系统的可控性、这里我们对第二章中的方法做了实质性改进，那里需要算子半群是等度连续的．第五章考虑如下半线性分数阶非局部微分方程的近似可控性lDqx(t)=Ax(t)+f(t，z(t))+Bu(t)，t∈J=[0，6】I1z(o)+‘9(z)：

8、XO,其中z(·)取值二于=Hilbert空间X；Dq是口阶的Caputo分数阶导数，0