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1、2005级《离散数学》试题B卷参考答案一、选择题(每题2分)1C2D3A4B5A6C7B8B9C10A二、填空题(每题2分)1、
2、AÈB
3、=
4、A
5、+
6、B
7、-
8、AÇB
9、2、小红和小丽不都是三好学生3、24、n-15、26、57、P«Q=（ØPÚQ）Ù（PÚØQ）8、为空9、m=n三、简答题1、解：MR=MR2=MRMR=MR3=MR2MR=MR4=MR3MR=+又∵Mt(R)=MR+MR2+MR3+MR46Mt(R)=t(R)={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)}评分：1、写出关系矩阵的1分2、求出MR2，MR3，MR4的1分3、求出M
10、t(R)的1分4、写出t(R)的1分2、解：评分：画对图即得4分3、解：因每个面的边数均为4,∴2m=4r,∴m=2r,又v=10,代入欧拉公式n-m+r=2∴10-2r+r=2解得r=8,则e=2r=16矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。点的度序列为：点的度序列为：4，4，4，4，3，3，3，3，2，26，6，3，3，3，3，2，2，2，2.6评分：1、求出边数的3分2、画出平面图的3分4、求（PÚQ）®（Q«R）的特异析取范式解：（PÚQ）®（Q«R）的真值表PQRPÚQQ«R（PÚQ）®（Q«R）对应极小项000011ØPÙØQÙØR001001ØPÙØQÙR01010
11、0011111ØPÙQÙR100111PÙØQÙØR101100110100111111PÙQÙR找使公式真值为1的赋值.由此主析取范式为：（PÚQ）®（Q«R）Û（ØPÙØQÙØR）Ú（ØPÙØQÙR）Ú（ØPÙQÙR）Ú（PÙØQÙØR）Ú（PÙQÙR）Ûm0Úm1Úm3Úm4Úm7评分：1、画出真值表的3分2、得出特异析取范式的3分5、解：G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12,因此G的子群是： 1阶子群 <12>=<0>={0} 2阶子群 <6>={0,6} 3阶子群
12、 <4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9} 6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12评分：1、写出12的正因子的3分聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2、写出6个子群的3分6、解：①消去联结词®(若有«，`Ú也要消去).6②将联结词Ø移至原子公式之前.③换名.④把量词提到整个公式的前面.(前束范式)(或)评分：错一处扣2分，扣完为止四、证明题1、证明:a,b∈Z,(a*b)*c＝(a+b-2)*c＝a+b+c-4a*(b*c)＝a*
13、(b+c-2)＝a+b+c-4∴*满是结合律.a∈Z,a*2＝a+2-2＝a,2*a＝a,∴单位元是2,a∈Z,(4-a)*a＝(4-a)+a-2＝2,∴a的逆元是4-a∴(Z,*)是群.对于任何整数n,1n＝2-n,即n＝12-n,∴1是生成元,也可以验证3也是生成元,3n＝n+2.评分：1、群证明正确的4分2、生成元正确的2分2、证明：设H是G=的子群,若H={e},显然H是循环群,否则取H中的最小正方幂元am,下面证明am是H的生成元.易见H,为证明H,只需证明H中的任何元素都可以表成am的整数次幂.任取al∈H,由除法可知存在整数
14、q和r,使得l=qm+r,其中0≤r≤m-1因此有ar=al-qm=al(am)-q6由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H,因为am是H中最小正方幂元,必有r=0.这就推出al=(am)q∈残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。评分：1、指出证明H中的最小正方幂元am是H的生成元的2分2、证明H中的最小正方幂元am是H的生成元的4分3、证明：设在图G中，奇数度结点集为V1,偶数度结点集为V2,边数为m,则于是，因为和2m均为偶数，所以也必为偶数，由于当v时，deg(v)均为奇数，因此#V1为偶数评分：1、运
15、用握手定理的3分2、证明奇结点为偶数个的3分4、证明：先证对一切i,Ri是对称的,用归纳法证明,i=1时R是对称的,设Rk是对称的,对i=k+1,"ÎRk+1酽锕极額閉镇桧猪訣锥。$xÎA,ÎRk,ÎR,由Rk,R的对称性,ÎRÎRkÎR·Rk=Rk+1彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。Rk+1是对称的"Ît(R)=存在i使ÎRi因Ri是对称的,ÎRiÍt(R)t(R)是对称的5、先将简单命题符号化. 设p:小张守第一垒. q:小李向B队投球. r:A队
16、取胜.6
