高三全国高考数学中求轨迹方程的常见技巧

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1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1已知点、动点满足，则点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：，.由条件，，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。CByxOA例2已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，

2、求顶点的轨迹方程.解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.由题意，构成等差数列，，即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.三、代入法yQOxNP当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例3如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.在直线上，①又得即.②16/16联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平

3、面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例4已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为.故的轨迹方程为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例5过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的

4、斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。xA1A2OyNMP例6如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与16/16的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设及，又，可得直线的方程为①；直线的方程为②.①×②得③.又，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程.当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.茕

5、桢广鳓鯡选块网羈泪。高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2．（）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q，AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是；（）16/16变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△

6、的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是；7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是．8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是．（）9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为．解法分析：解法1当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为　与抛物线方程联立，　消去得　．设，，中点为，则有　消得．当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．解法2　设，，16/16由　得，设中点为，当时，有，又，所

7、以，，即．当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．10．过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（二）解答题1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程．3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足，．（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线