第24课利用导数研究函数的单调性

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1、第24课利用导数研究函数的单调性1.设/(%)>g(劝是/?上的可导函数，厂(兀)、Q(x)分别为/(兀)、g(x)的导函数，且f(x)g(x)+f(x)gx)/(b)g(x)B./(x)g(a)>/(d)g(兀)C・fMg(x)>f(b)g(b)D./(x)gO)>/(Q)g(a)【答案】C【解析】设F(x)=/(x)-g(x),则Fx)=f(x)g(x)+f(x)gf(x)<0,F(x)在/?上是减函数，得F(a)>F(x)>F(b),/.f(x)g(x)>f(b)g(b).2.函数/

2、(刃的定义域为R,/(-l)=2,对任意xgR,/z(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(—1,1)B.(—1,+°°)C.(—°°,—1)D.(—°°,+°°)【答案】B【解析】令g(x)=f{x)-2x-4,贝ijg'(x)=/'(兀)一2>0,Jg(x)在/?上为增函数，V0,得兀>一1.1°3(2012东城二模)已知函数/(%)=——x2+2x-aeA.(1)若6Z=1,求/(兀)在兀=1处的切线方程；(2)若/(兀)在R上是增函数，求实数a的取值范围.I3【

3、解析】(1)由a=l,/(%)=一一x2+2x-e/(1)=—一e,fx)——X+2—eA,广(1)=1—e,・••所求切线方程为y-(--e)=(l-e)(x一1),即2(l-e)%-2y+l=0.(2)由已知/(兀)=一*尤2+2尤一处、，得广(兀)二一兀+2-ae'.・・•函数/(兀)在R上是增函数，・・・fx）>0恒成立，即不等式-兀+2-处10恒成立.整理得"宁.令如）=宁，如）=宁・兀g'（x）,gCr）的变化情况如下表:X(-°°,3)3(3,+8)g'O)—0+g（兀）极小值/由此得a

4、是（―，-e'34.(2012石景ill一模)已知函数f(x)=x2+2«lnx.（1）若函数/（兀）的图彖在（2,/（2））处的切线斜率为1,求实数a的值；（2）求函数/（兀）的单调区间；2（3）若函数g（兀）=_+/（%）在［1，2］上是减函数，求实数Q的取值范【解析】(1)/©)=2x+N=2〒+2g,……1分由已知广（2）=1,解得0=—3.……3分（2）函数/（兀）的定义域为（0,+oo）.①当ah0时，/（x）>0,/（x）的单调递增区间为（0,+oo）：②当ovO时/©)=2(x+丘)(—").当兀变化时，广（兀）,/（兀）的变化

5、情况如下:X(0,/—a)—/(x)4-CI(V^,+oo)0+极小值由上表可知，函数.f（x）的单调递减区间是（0,丘）；单调递增区间是（、£,+8）.xx~X（3）由g（x）=—+F+2olnx,得g'（x）=——+2x4-—,由已知函数g（x）为［1,2］上的单调减函数，则gx）50在［1,2］上恒成立，即-一+2x4-—<0在［1,2］上恒成立.即d5丄-F在［1,2］上恒成立.令力(兀)=丄一兀2,灼［1,2］,Ahx)=-A--2x=-(4-+2x)<0,7h(x)在［1,2］为减函数.h(x)^0=/?(2)=一一,5.（

6、2012东莞一模）已知函数/（兀）=ln兀一处+—-1（6ZGR）.X（1）当a=-l时，求曲线y=/（x）在点（2J（2））处的切线方程;（2）当a5丄时，讨论/（兀）的单调性.22【解析】(1)当d=—1时，/(x)=lnx+x+——1,xg(09+<»),x12・・・厂(兀)=_+1—/⑵=1112+2,广(2)=1,XX・・・所求的切线方程为y=x-ln2.—Cl(2)V/(x)=x-ax+1,令

7、时fx）＜0,函数/（兀）单调递减，兀W（l,+oo）时，gU）＜0,此时＞0,函数/（兀）单调递增，当qhO时，由广（兀）二0,解得兀［=1,无=丄一1,a①若d二丄，函数/（兀）在（0,+oo）上单调递减，②若OVGV丄，在（0,1）,（丄一l,+oo）单调递减，在（1,丄一1）上单调递增.2aa③当qvO时，由于--1＜0,axg（0,1）时，g（x）＞0,此时fx）＜0,函数/（乂）单调递减；XW（l,+oo）时，g（x）vO,此吋函数广（x）＞0,函数/'（兀）单调递增.综上所述：当GSO时，函数/（兀）在（0,1）上单调递减，在

8、（1,4-00）上单调递增，当a=~时，函数/（兀）在（0,4-00）上单调递减；当0＜a＜丄时,函数/⑴在（0,1）,（1-1,4-00）±单调递减