数学_必修1_函数与方程_总复习

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1、高中数学必修1数学———函数与方程一．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

2、的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。第4页共4页注：用二分法求函数的变

3、号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。四．典例解析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故

4、本题应选C。例2.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A.B.C.D.解析的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。题型2：零点存在性定理例3．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有

5、可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项C正确，见实例“在区间第4页共4页上满足，但其存在实数解”。点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型3：二分法的概念例4．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]

6、内有可能无零点；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。选D点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例5．借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。解析：原方程即。令，用计算器做出如下对应值表x－2－1012f(x)2.58203.05302.79181.07

7、94－4.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；故结果可取1.3。6．关于的方程的两个实根、满足，则实数m的取值范围提示：设，则，即：，解得：．7．设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（D）A．0B．9C．12D．18第4页共4页提示：由知的图象有对称轴，方程的6个根在轴上对应的点关于直线对称，依次设

8、为，故6个根的和为18，答案为D．例2．设依次是方程，，的实数根，试比较的大小．解：在同一坐标内作出函数，，的图象从图中可以看出，又，故3．已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是(B)A．3B．4C．5D．6提示：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出