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时间:2019-04-16
《2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.4不等式的证明一训练北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4不等式的证明(一)一、选择题1.若a,b为不等的正数,则(abk+akb)-(ak+1+bk+1)(k∈N+)的符号( )A.恒正B.恒负C.与k的奇偶性有关D.与a,b大小无关解析 (abk+akb)-ak+1-bk+1=bk(a-b)+ak(b-a)=(a-b)(bk-ak)∵a>0,b>0,若a>b,则ak>bk,∴(a-b)(bk-ak)<0;若a1,m=+,n=+,则m与n的关系是( )A.mnC.m≤nD.m≥
2、n答案 B3.设a、b、c、d、m、n∈(0,+∞),P=+,Q=·,则有( )A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P0,Q>0,∴P≤Q.答案 B4.已知a,b,c,d都是正数,且bc>ad,则,,,中最大的是( )A.B.C.D.解析 -=<0,∴<,-==>0,-==>0,所以最大的是.答案 D5.设a=sin15°+cos15°,b=sin16°+cos16°,则下列各式正确的是( )A.a
0,Q>0,∴P≤Q.答案 B4.已知a,b,c,d都是正数,且bc>ad,则,,,中最大的是( )A.B.C.D.解析 -=<0,∴<,-==>0,-==>0,所以最大的是.答案 D5.设a=sin15°+cos15°,b=sin16°+cos16°,则下列各式正确的是( )A.a
3、<ab=sin60°·sin61°=sin61°>sin61°=b,故ab2”是“a>b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当a2>b2时,a2-b2>0,即(a+b)(a-b)>0,当a,b同为正时,有a>b;当a、b同为负
4、时,ab2时,不一定有a>b成立.反之,当a>b时,也不一定有a2>b2,例如1>-2,而12<(-2)2.答案 D二、填空题7.下列四个不等式:①a<05,则-与-的大小关系是__________________.解析 因为a>5,只需比较+与2的大小,两数平方,即比较与a-4的大小,再平方,只需比较a2-8a+15与
5、a2-8a+16的大小.答案 -<-三、解答题9.已知a,b∈R+,n∈N+,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).证明 2(an+1+bn+1)-(a+b)(an+bn)=2an+1+2bn+1-an+1-abn-ban-bn+1=an+1-abn-ban+bn+1=an(a-b)-bn(a-b)=(a-b)(an-bn).∵a>0,b>0,若a-b>0,则an-bn>0,∴(a-b)(an-bn)>0,若a-b<0,则an-bn<0,∴(a-b)(an-bn)>0,∴(a+b)(an+bn
6、)≤2(an+1+bn+1).10.设m∈R,a>b>1,f(x)=,比较f(a)与f(b)的大小.解 f(a)-f(b)=-=.∵a>b>1,∴b-a<0,a-1>0,b-1>0,∴<0.当m>0时,<0,f(a)0,f(a)>f(b);当m=0时,=0,f(a)=f(b).11.设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).证明 由a,b是非负实数,作差得a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)[()5-()5].当a≥b时,≥,从而()5≥()5,得(-)
7、[()5-()5]≥0;当a0.所以a3+b3≥(a2+b2).
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