2017_2018学年高中数学不等关系与基本不等式1.4不等式的证明二训练北师大版

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1、1.4不等式的证明（二）一、选择题1.a>0，b>0，下列不等式中不成立的是(　　)A.＋≥2B.a2＋b2≥2abC.＋≥a＋bD.＋≥2＋解析　由∈(0，＋∞)且∈(0，＋∞)，得＋≥2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0.答案　D2.设a、b、x、y均为正数，且a、b为常数，x、y为变量，若x＋y＝1，则＋的最大值为(　　)A.B.C.D.解析　＋≤＋＝，故选B.答案　B3.如果0

2、分析法易证(或用特值法)，0<<<<1.由y＝cosx在上是减函数可得.答案　A4.已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x

3、y

4、>z

5、y

6、解析　由已知3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0.由　得：xy>xz.答案　C5.设0

7、b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是______________.解析　a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，而a、b、c不全相等⇔(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0，∴a3＋b3＋c3≥3abc⇔a＋b＋c≥0.答案　a＋b＋c≥07.已知a>b>c，则与的大小关系为______________.解析　∵a－b>0，b－c>0，∴≤＝.∴≤.答案　≤三、解答题8.已知

8、a

9、<1，

10、b

11、<1，求证：<1.证明　要证<1，只需证

12、a＋b

13、<

14、1＋ab

15、，也只需证a2＋2

16、ab＋b2<1＋2ab＋a2b2，即证(1－a2)－b2(1－a2)>0，也就是(1－a2)(1－b2)>0，∵

17、a

18、<1，

19、b

20、<1，∴最后一个不等式显然成立.因此原不等式成立.9.已知实数a，b，c，d，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：

21、ac＋bd

22、≤1.证明　法一　(分析法)要证

23、ac＋bd

24、≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1.即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.∴上式即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即证(ad－bc)2≥0.∵a，b，c，d都是实数，∴(ad－bc)2≥0成立.∴

25、ac＋bd

26、≤1

27、.法二　(综合法)∵a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴

28、ac＋bd

29、≤

30、ac

31、＋

32、bd

33、≤＋＝＝1.法三　(三角换元法)∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴可令a＝sinα，b＝cosα，c＝sinβ，d＝cosβ，∴

34、ac＋bd

35、＝

36、sinαsinβ＋cosαcosβ

37、＝

38、cos(α－β)

39、≤1.10.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是

40、a－b

41、＜

42、c－d

43、的充要条件.证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(

44、2)①若

45、a－b

46、＜

47、c－d

48、，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

49、a－b

50、＜

51、c－d

52、.综上，＋＞＋是

53、a－b

54、＜

55、c－d

56、的充要条件.