2018年秋高中数学1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义学案新人教a版

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1、1.1.3　导数的几何意义学习目标：1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数．(重点、难点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义：图116如图116，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′

2、(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝.思考：f′(x0)与f′(x)有什么区别？[提示]f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线

3、的斜率．(　　)(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．(　　)(3)f′(x0)(或y′

4、x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　)(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)A．f′(x0)＞0　　　B．f′(x0)＝0C．f′(x0)＜0D．f′(x0)不存在C　[由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C

5、.]3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________.【导学号：31062012】[解析]　设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.[答案]　45°4．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．[解析]　切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]　x＋y－3＝0[合作探究·攻重难]导数几何意义的应用　(1)已知y

6、＝f(x)的图象如图117所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)图117A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)A．a＝1，b＝1　B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1(1)B　(2)A　[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．(2)由题意，知k＝y′

7、

8、x＝0＝＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.][规律方法]　1.本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义.3.与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.[跟踪训练]1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)【导学号：31062013】A．1B．C．－D．－1A　[由题意可知，f′(1)＝2.又＝＝(aΔx＋2a)＝

9、2a.故由2a＝2得a＝1.]2．如图118，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)图118A．－4B．3C．－2D．1D　[直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标　过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．[解]　f′(x)＝＝＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点

10、．(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．[规律方法]　1.本