高中数学 导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义学案新人教a版

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1、1．1.3　导数的几何意义学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一　导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1　割线PPn的斜率kn是多少？答案　割线PPn的斜率kn＝.思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理　(1)切线的定义：设PPn是

2、曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点二　导函数思考　已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同．答案　f′(1)＝＝2.f′(x)＝＝2x，

3、f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数．梳理　对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝.特别提醒：区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是

4、函数1．函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　√　)2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　√　)3．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　×　)类型一　求切线方程例1　已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．考点　求函数在某点处的切线方程题点　曲线的切线方程解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．＝＝＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，∴k＝＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(

5、x－2)，即4x－y－4＝0.反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．考点　求函数在某点处的切线方程题点　求曲线的切线方程答案　－3解析　∵＝＝＝(4＋Δx)＝4，∴k＝＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.例2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．考点　求曲线在某点处的切线方程题点　曲线的切线方程解　设切点为(x0，

6、x＋x0＋1)，则切线的斜率为k＝＝2x0＋1.又k＝＝，∴2x0＋1＝.解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)建立方程f′(x0)＝.(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y

7、0，从而写出切线方程．跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．考点　求函数在某点处的切线方程题点　求曲线的切线方程解　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－3x＋x0，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0)＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，∴f′(x0)＝＝3x－6x0＋1.∴切线方程为y－(x－3x＋x0)＝(

8、3x－6x0＋1)·(x－x0)．∵切线过原点，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0，即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝，故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.类型二　利用图象理解导数的几何意义例3　已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)A．0