高中数学导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义学案新人教a版

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1、1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.知识点一 导数的几何意义如图,Pn的坐标为(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),P的坐标为(x0,y0),直线PT为在点P处的切线.思考1 割线PPn的斜率kn是多少?答案 割线PPn的斜率kn=.思考2 当点Pn无限趋近于点P时,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理 (1)切线的定义:设PPn是曲线y=f(

2、x)的割线,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线y=f(x)在点P处的切线.(2)导数f′(x0)的几何意义:导数f′(x0)表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0)=.(3)切线方程:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).知识点二 导函数思考 已知函数f(x)=x2,分别计算f′(1)与f′(x),它们有什么不同.答案 f′(1)==2.f′(x)==2x,f′(1)是一个值,而f

3、′(x)是一个函数.梳理 对于函数y=f(x),当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,则当x变化时,f′(x)便是一个关于x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)=y′=.特别提醒:区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值,是数值在x=x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数1.函数在一点处的导数f′(x0

4、)是一个常数.( √ )2.函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值.( √ )3.直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( × )类型一 求切线方程例1 已知曲线C:y=x3+.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程.考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程解 将x=2代入曲线C的方程得y=4,∴切点P(2,4).===[4+2Δx+(Δx)2]=4,∴k==4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.反思与感悟 求曲线

5、在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程答案 -3解析 ∵===(4+Δx)=4,∴k==4.∴曲线y=x2+1在点(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.例2 求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.考点 求曲线在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程解 设切点为(x0,x+x0+1),则切线的斜率为k==2x0+1.又k==,∴

6、2x0+1=.解得x0=0或x0=-2.当x0=0时,切线斜率k=1,过(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.当x0=-2时,切线斜率k=-3,过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.反思与感悟 过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0,f(x0)).(2)建立方程f′(x0)=.(3)解方程得k=f′(x0),x0,y0,从而写出切线方程.跟踪训练2 求函数y=f(x)=x3-3x2+x的

7、图象上过原点的切线方程.考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 设切点坐标为(x0,y0),则y0=x-3x+x0,∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-3(x0+Δx)2+(x0+Δx)-(x-3x+x0)=3xΔx+3x0(Δx)2-6x0Δx+(Δx)3-3(Δx)2+Δx,∴=3x+3x0Δx-6x0+1+(Δx)2-3Δx,∴f′(x0)==3x-6x0+1.∴切线方程为y-(x-3x+x0)=(3x-6x0+1)·(x-x0).∵切线过原点,∴x-3x+x0=3x-6x+x0,

8、即2x-3x=0,∴x0=0或x0=,故所求切线方程为x-y=0或5x+4y=0.类型二 利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(  )A.0

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