数论综合复习.doc

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1、第三部分数论知识一、奇偶性判断奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶奇数的连乘永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定为偶数。相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。奇数用2K＋1或2K－1（K是整数）表示；偶数用2K表示。典型题1：用0，1，2，…9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的小，那么这五个两位数的和是多少？典型题2：用1，2，3，4，5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问：乘积中是偶数多还是奇数多？典型题3：3—9这七个数，两两相乘后得到乘积的和，是奇数还是偶数

2、？为什么？重点1：两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性典型题4：能否用1，2，3…101这101个数各一次及“+”，“-”运算符合，列出一个结果为0的算式？若能，请列出一个，若不能，说明理由。典型题5：在下图的每个○中填入5个自然数（可重复），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）都等于图中两个○之间的那个数，能否办到？为什么？重点2：利用“奇数不等于偶数”证明一些较复杂的奇偶性问题典型题6：小明与小光参加数学竞赛，比赛试题共50道，评分标准是：（1）每对一题给3分；（2）不答给1分；（3）答错倒扣1分小明说：“我得了107分”，小光说：“我得了98”，他们两人中

3、只有一人说对了，你能判断出是非吗？请说明理由典型题7：图中每条直线上都有四个圆圈，将这些圆圈任意涂上红色或蓝色，是否可以使得恰好有三条直线上的红圈数是奇数？典型题8：在一个联欢会上，有5位同学，他们中的每一位同学与三位同学各握一次手，这可能吗？二、位值原则形如：=100a+10b+c，这是解决数论问题时我们经常用到的。典型题1：三位数与它反序数的差能被99整除吗？若能，这个商是多少？典型题2：已知abcd+abc+ab+a=1370，求abcd。三、数的整除特征及性质：整除数特征2和5末尾是2（或5）的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍

4、数3和9各数位上数字的和是3（或9）的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数7、11、13一般判断一个数是否能被1001整除（1001=7×11×13）典型题1：将自然数N接在任意自然数的后面，得到的新数都能被N整除，那么我们称N是“神奇数”。问在130以内有多少个“神奇数”？典型题2：甲、乙两人进行了下面的游戏。两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之一填入下面的任一个方格中每个方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数，如果这个六位数能被N整除，就算是乙获胜，设N小于15，那

5、么当N取哪些数的时候乙才能获胜？典型题3：三位数连续写1001次成为一个3003位数，这个3003位数能被91整除，求a和b.典型题4：N=2222……222（K个2）若1998︱N,那么K的最小值是几?典型题5：某学校有１３个兴趣小组，各组的人数如下表：组别１２３４５６７８９１０１１１２１３人数２３５７９１０１１１４１３１７２１２４２４一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有１２个小组去听讲座，其中听语文讲座的是听数学的人数的六倍，还剩下一个小组在教室讨论问题，这一组是第几组？典型题6：已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数。典型题7：任意调换189位

6、数12345678910……9899各位数上的数字的位置，所得的自然数中，有没有质数，试说明理由？典型题8：一个自然数a，若将其数字重新排列，可得一个新的自然数b，如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”。（1）请你举例说明“希望数”一定存在。（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则一定有729

7、ab。典型题9：四位数ABCD与它的倒序数DCBA的和正好是35的倍数，求这样的数共有多少个？四、质数与合数（分解质因数）典型题1：立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等，若18的对面是质数A，14的对面是质数B，35的对面是质数C，求A×B×C。典

8、型题2：是否存在两个质数，它们的和等于1111…11（20个1）？典型题3：在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?典型题4：在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?典型题5：数435与534的数字次序相反，我们称它们为一对反序数。现在有一对反序数的乘积等于