数论综合（四）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（四）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核高旭东整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k＋1（k为整数）表示。任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：，其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式。奇数与偶数有如下的运算性质：(1)偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数；(2)偶数±奇数＝奇数；(3)偶数个奇数相加得偶数；(4)奇数个奇数相加得奇

2、数；(5)偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数及约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论类题目的突破口，它可以帮助我们分析数字的特征。例1有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给小朋友，已知苹果分到最

3、后还剩2个，橘子分到最后还剩7个，那么最多有多少个小朋友？分析与解：从240个苹果中去掉2个，即将238个苹果平均分给这些小朋友，没有剩余；从313个橘子中去掉7个，即将306个橘子平均分给这些小朋友，也没有剩余。那么238和306都是这些小朋友人数的倍数，这些小朋友的人数是238和306的公约数。求最多有多少个小朋友，实际上就是在求238与306的最大公约数。(238，306)＝34，所以最多有34个小朋友。第5页版权所有不得复制答：最多有34个小朋友。例2甲、乙、丙3个自然数之和是100，甲数除以乙数或丙

4、数除以甲数，商都是5，余数都是1。问：乙数是多少？分析与解：设乙数为x，则甲数是5x＋1，丙数是5(5x＋1)＋1。根据题意，得x＋5x＋1＋5(5x＋1)＋1＝100x＋5x＋1＋25x＋5＋1＝10031x＝93x＝3例3某数除以3余1、除以4余2、除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？分析与解：观察后发现：除数和余数均相差2。所以将这个数添上2后，它分别能被3、4、5、6整除。要求这个数最小是多少，就要先求出3、4、5、6的最小公倍数，再减去2即可。[3，4，5，6]－2＝60－2＝58。答：这个数

5、最小是58。例4如果某个整数除482、992、1094都余74，那么，这个整数是几？分析与解：分别从482、992、1094中减去余数74，新得到的3个数都是这个整数的倍数。482－74＝408，992－74＝918，1094－74＝1020，即这个整数是408、918、1020的公约数。(408，918，1020)＝102，这个整数只要是102的因数即可，又根据已知余数是74（余数要比除数小），所以这个整数只能是102。答：这个整数是102。例5已知。问：a除以13所得的余数是几？分析与解：观察数字的特点我

6、们可以发现，1991＝9999－8008＝9999－1001×8，其中1001＝7×13×11，即1001是13的倍数，所以8008也是13的倍数，而9999＝1991＋8008，所以9999与1991除以13所得的余数相同，问题可转化为研究除以13的余数。由分析可知，a与b同余。第5页版权所有不得复制整理，注意到111111＝1001×111能被13整除，而1991×4＝6×1327＋2，所以，数字b与99同余。又因为99＝7×13＋8，所以b除以13余8，也就是说a除以13也余8。例6从一张长2002毫米

7、，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米?分析与解：从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商。而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847＝2……308，847÷308＝2……231，308÷231＝1……77。231÷77＝3。不难得知，最后剪得的正方形的边

8、长为77毫米。例7已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质。请写出所有可能的答案。分析与解：设这三个自然数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两均不互质，所以它们均是合数。小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。其中只含1种因数的合数不满足题意，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14＝2×7，其中只有14含有质因数7，无法找到