数论综合（二）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（二）编稿老师宋玲玲一校张琦锋二校黄楠审核高旭东自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为以下三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数。这类自然数只有一个，就是1。第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，…第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，且除了能被1和它本身整除外，还能被其他一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，

2、…上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。质数与合数的问题，很多时候是和奇偶性联系在一起的。例如：有一道题目这样说，有两个质数的和是99，问：这两个质数的乘积是多少？看似简单的一道题目，其实蕴藏了很多知识点。首先你要明白什么是质数，其次你要知道两数和的特点是什么，怎么样能得偶数和、怎么样能得奇数和。明白了这两点，这道题目很容易就可以知道答案。100以内的质数表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97例1箱子里有乒乓球若干个，其中25％

3、是一级品，五分之几是二级品，其余91个是三级品。问：箱子里共有乒乓球多少个？分析与解：把箱子里所有乒乓球的个数看作整体“1”。设乒乓球的总数为n，其中二级品的个数占整体“1”的，根据题意可列方程：(1－25％－)×n＝91即n(15－4x)＝91×20，由此可知(15－4x)应是91×20的约数。因为91×20＝2×2×5×7×13，通过验证可知只有x＝2时满足条件，所以7n＝91×20，即箱子里共有乒乓球91×20÷7＝260(个)。答：箱子里共有乒乓球260个。第5页版权所有不得复制例2有3个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这

4、3个数中最小的数是多少？分析与解：设这3个数分别为(a－1)、a、(a＋1)，后面两个数的积与前面两个数的积之差为a(a＋1)－a(a－1)＝2a＝114，可得a＝114÷2＝57，那么这3个数中最小的数就是57－1＝56。例34个不同质数的倒数和为，则x等于多少？分析与解：将2002分解质因数可得2002＝2×7×11×13。＋＋＋＝＋＋＋＝所以x＝1623。例4在等式A×(B＋C)＝110＋C中，A、B、C是3个互不相等的质数，那么A＋B＋C等于多少？分析与解：假设A、B、C都是奇数，那么(B＋C)是偶数，从而A×(B＋C)是偶数，而(110＋C)是奇数，

5、二者互相矛盾，所以A、B、C中一定含有偶数。质数中只有2是偶数，因此，A、B、C中一定有且只有一个为2。如果A＝2或C＝2，那么等号两边奇偶性均不同，与已知矛盾，所以B＝2。A×(2＋C)＝110＋C，A＝，由A、B、C都是质数，可求得C＝7，A＝13。所以A＋B＋C＝13＋2＋7＝22。例5求当七位数中的B是几的时候，A不管是0到9中的任何一个数字，这个七位数都不是11的倍数。分析与解：我们知道能被11整除的数的特征是“这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数”，因此如果这个七位数是11的倍数，那么(4＋6＋7＋B）－(3＋

6、A＋5)的结果也应该是11的倍数，即(17＋B)－(8＋A)＝9＋(B－A)的结果是11的倍数。下面分别讨论：（1）当9＋(B－A)＝0时，得A－B＝9，A＝9，B＝0；（2）当9＋(B－A)＝11时，得B－A＝2，可得A＝0，B＝2；A＝1，B＝3；A＝2，B＝4；A＝3，B＝5；第5页版权所有不得复制A＝4，B＝6；A＝5，B＝7；A＝6，B＝8；A＝7，B＝9。综合上面分析的结果，发现只有当B＝1时，A不管是0到9中的任何一个数字，这个七位数都不是11的倍数。。例6如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?分析与解：我们知道

7、如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。所以n小于5。：当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为0或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的自然数的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9，它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能。：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足条件。：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别

8、为2，6，2，0，显然不满足条件。至于