第二章静电场

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1、第二章静电场§2-1算子计算式的建立静电场的电场强度E可由下式求得(2-1)式中是静电位，是梯度算子。在恒定介电常数和体电荷密度的区域内，静电位满足泊松(Poisson)方程/ε(2-2)式中是拉普拉斯算子。为得到唯一解，必须加上的边界条件。换言之，必须规定算子的定义域。现在我们来研究电菏在无界空间中的场。当（2-3）式中r是在有限区域内每个与坐标原点的距离。微分算子的算式为（2-4）式中（2-5）定义域是使拉普拉斯算子存在的函数Φ，而且按照式（2-3），在无限远处，有界。此问题的以知解是（2-6）式中R=是由原点到场点的距离。因此，的逆算子是（2-7）

2、应记住，只有在式（2-3）的边界条件下，式（2-7）才是式（2-5）的逆算子。如果边界条件改变，也改变。此外，将式（2-5）选定为,式(2-7)选定为是任意的，如果需要的话，也可以将符号倒换。静电问题（是常数）的适当内积（2-8）式中积分在全空间范围内进行。容易证明，式（2-8）满足式(1-2).(1-3)和(1-4)的假设。现在要证明对于此内积，L是自伴的。为此，列出式（1-5）的左方（2-9）式中=。已知格林恒等式为（2-10）式中S是包围体积V的封闭曲面，n是垂直于S的外向法线。假定S是半径为的球面,当时，体积V便包含全空间。　对满足边界条件式（2

3、-3）的和来说，当时，，因此，当r时，，并且对于也与此类似。由于只随增加，所以当时，式（2-10）的右边为零。于是式（2-10）化为（2-11）由此，伴随算子显然是（2-12）因为的定义域就是的定义域，所以算子是自伴的。在此情况中，自伴性的数学概念与互易性的物理概念有关。由式（2-5）及式（2-7）可知，和显然是实算子，下面来证明它们也是正定算子，即满足式（1-6）。如§1-2所讨论的那样，只须证明或即可。对于，可列出（2-13）并应用失量恒等式和散度定理，则得（2-14）式中的S包围V。然后取半径为r的球面为S，对于满足式（2-3）的，如同在式（2-1

4、0）中用过的理由一样，当r时，式（2-14）的后一项为零。因此，（2-15）对于实数，且当时，是正定的，在此情况中的正定性与静电能量的概念有关系。§2-2带电导体板现讨论一块正方形导体板，边长为2a米，位于z=0的平面上，中心在坐标原点，如图2-1所示。设表示导体板上的面电荷密度，板的厚度为零。则空间任意一点的静电位是（2-16）式中。板上的边界条件是（常数），此时积分方程是（2-17）式中,，待求的未知函数是电荷密度。一个有意义的参数是导体板的电容：（2-18）它是的一个连续性泛函。让我们首先求一个简单的分段和点选配解，然后用更普遍的概念解释它，假设将

5、导体板划分为N个正方形小块，如图2-1所示。ZY2b2b2aX导体板2a定义函数而假设电荷密度表示为（2-20）将式（2-20）带入式（2-17）中，并且在每个的中点满足所得的方程，则有（2-21）式中（2-22）注意，是上单位振幅的均匀电荷密度在的中心出产生的电位。由求解式（2-21）得到，据此，电荷密度由式（2-20）逼近对于式（2-18）的平板电容相应的近似为（2-23）此结果可以解释为：物体的电容是其各小块电容的总和加上每一小块间的互电容。为了将上述结果翻译成线形空间和距量法的语言，令（2-24）（2-25）（2-26）于是与式（2-17）等效，

6、使L成为自伴算子又满足式（1-2）至式（1-4）的一个合适的内积为（2-27）为了应用距量法，我们以函数式（2-19）为分域积并规定检验函数为（2-28）这是一个二维的狄拉克函数。式（1-25）的距阵的元素现在就是式（2-22），式（1-26）的距阵[g]的元素是（2-29）自然，距阵方程式（1-24）与方程组式（2-21）相等。由于在板上，用式（2-27）的内积表示，则式（2-18）的电容可写为（2-30）它是计算导体电容的常用稳定公式。为了得到数据结果，必须计算式（2-22）的。令表示每个的边长，由本身面上的单位电荷密度在其中心处产生的电位是=（2-

7、31）计算使用了得怀特（Dwight）数学表中的式200.01和731.2。上单位电荷在中心处，产生的电位可用同样方法计算，但算式复杂。若将上的电荷视为点电荷，并应用（2-32）则，对大多数用途来说，已经足够精确。此种近似对相临分块的误差是3.8%，对非相临分块，误差更小。表2-1是对不同的分块数用式（2-21）求得的各个，再用式（2-23）算出的电容。表中第二行是用近似式（2-32）计算的第三行是以的精确解计算的，对于真实电容的一个良好估值是40微微法。图2-2表示当N=100个分块小面积时，沿最靠近导体板中心线的小块面积上的近似电荷密度曲线。可见，在

8、导体板的边缘呈现出众所周知的平方根奇点。表2-1单位正方形板的电容（微微法/米）