常系数线性微分方程组(III)

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1、§5.3常系数线性方程组一阶常系数线性微分方程组:本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.一、矩阵指数expA的定义和求法1expA的定义定义注1:矩阵级数(5.34)是收敛的.由于而数项级数收敛.注2:级数在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于而数项级数收敛.2矩阵指数的性质由于:绝对收敛级数的乘法定理由于:由于:3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1)定理9矩阵是(5.33)的基解矩阵,且证明:又因为例1如果A是一个对角矩阵解由(5.34)得例2解因为而后面两个矩阵是可交换的故(2)基解矩阵的一种求法则其中注1:二基解矩阵的计

2、算公式类似第四章4.2.2,寻求形如将(5.43)代入(5.33)得1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系方程(5.44)有非零解的充要条件是:结论即例3解的根,解得解得例4解特征方程为为求其对应的特征向量考虑方程组解得2基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理10是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是(5.33)的解,因此矩阵是(5.33)的解矩阵,所以例5解由例3知由定理10,矩阵就是一个基解矩阵.注:但由于有从而例6试求例5的实基解矩阵.

3、解由于基解矩阵为故实基解矩阵为求例5满足初始条件的解解由于基解矩阵为故该方程的通解为从而由初始条件有故例7求方程组的通解.解因此特征根为它们相的特征向量为故基解矩阵为故通解为(2)矩阵A的特征根有重根时分量是无穷级数难!分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合的解产生的,由于由(5.49)有由(5.51)有注1:故注2:其中例8试解初值问题解从例4知,利用公式(5.53)即得或者分别令例9如果解直接计算可得因此由公式(5.53)可得例10求方程组满足初始条件解这里系数矩阵特征根为由(5.48)我们需要考虑下面方程和首先讨论这个方程

4、组的解为其次这个方程组的解为解之得代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得(3)非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组由于(5.60)对应齐次方程组的基解矩阵为故由常数变易公式,例10设的解.解由例6知故初值问题的解为三拉普拉斯变换的应用(1)定义定义其拉普拉斯变换为常系数线性微分方程组:1用拉普拉斯变换解微分方程组(2)定理12(3)推论例11利用拉普拉斯变换求解例10.解将方程写成分量形式,即由此解得故即例12试求方程组满足初始条件解对方程组取拉普拉斯变换得即解得故例12试求方程组满足初始条件解整理后得解得再取反

5、变换得2用拉普拉斯变换求基解矩阵对常系数齐线性微分方程组例12试构造方程组的一个基解矩阵,其中解即也即由克莱姆法则,有从而故基解矩阵且作业P2362,4(b),5(a)P2365(c),6(a),7,P2378,10(a),11