常系数线性微分方程组(II)

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1、§5.3常系数线性微分方程组CoefficientsLinearODEs1常系数齐线性微分方程组的基解矩阵的结构，这里A是常数矩阵。2通过代数的方法，寻求(5.33)的一个基解矩阵。(5.33)3拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。本节主要内容/MainContents/5.3.1矩阵指数expA的定义和性质无穷矩阵级数如果每个收敛，则收敛。判断无穷矩阵级数收敛的法则：而级数收敛，则收敛。同理，可给出在区间I上的一致收敛的定义，和函数等类似的结果。(5.34)定义1矩阵指数E为n阶单位矩阵,是矩阵A的m次幂。expA是一个确定的矩阵。对于一切正整数k，而收敛，则收敛。对于一

2、切正整数k，当(c是某一正常数)时，有而数值级数是收敛的，(5.35)在t的任何有限区间上是一致收敛的。定义2矩阵指数函数因而(5.35)在t的任何有限区间上是一致收敛的。性质性质1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则(5.36)证由于级数绝对收敛，由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA，由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA，性质2对于任何矩阵A，存在，且(5.39)证A与-A是可交换的，故在(5.36)中，令B=-A得事实上性质3如果T是非奇异矩阵，则定理9是(5.33)证明是(5.33)的解矩阵，又因为因此,是(5.33)

3、的标准基解矩阵。证毕(5.41)矩阵的标准基解矩阵。例1如果A是一个对角矩阵试求出的基解矩阵。(其中未写出的元素均为零)解方程组可以写成分别积分据定理9，这就是基解矩阵。例2试求的基解矩阵。解以验证后面的两个矩阵是可交换的，得到但是因此，基解矩阵就是其中常数和向量c是待定的。因为(5.44)5.3.2基解矩阵的计算公式(5.33)(5.43)若(5.33）有的解，反过来，和向量c满足方程组(5.44)和c满足方程则是(5.33)的非零解(5.44)是A的特征值，c是A的属于的特征向量。特征方程是(5.33)的非零解是A的特征值，c是A的属于的特征向量。例3求解解1如果是简单特征根，

4、2如果是特征方程的k重根(即具有因子,而没有因子则称是k重特征根。是特征方程的单根，则称)，它们对应的特征值分别为(不必各不相同)，那么是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵。(5.33)定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之一每一个向量函数是线性无关的,所以证明都是(5.33)的一个解,基解矩阵。注1它们对应的特征向量分别为那么是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵。推论如果矩阵A具有n个互不相同的特征值注2标准基解阵的表示标准基解阵一定为实矩阵。注3若实系数线性方程组(5.33)有复值解，则其实部与虚部都是（5.33）的解.例5试求解

5、解1求A的特征值和特征向量对于任意常数是对应于类似的，可以求出对应于的特征向量为其中的特征向量，2求实基解矩阵就是一个基解矩阵。1计算特征值，特征向量；求实基解矩阵的步骤(利用定理10)2求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；3*写出方程的通解。作业P.236,第4(a),(b)题。课堂练习试求解求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二假设A是一个矩阵，其不同特征值它们的重数分别为那么，对于每一个重特征值,线性方程组(5.48)的解全体构成n维欧几里得空间的一个子空间且n维欧几里得空间维对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯一的使得(5.49)互不相同，对应的特征向量A有一个

6、重特征值(5.48)的解全体就构成n维欧几里得空间，不必分解。向量分别为且满足(5.51)则存在唯一的(5.50)是(5.33)的满足的解，设是n维向量使得(5.48)由此可推得(5.52)满足(5.48)(5.33)的满足的解：当A只有一个特征根时，无需将特征向量分解为(5.50)。这时对于任何u都有(5.53)解1求A的特征值例4试求解2代入公式，求初值问题的解3求A的标准基解矩阵例5试求满足初始条件的解并求expAt。解1求A的特征值或其中为任意常数。子空间是由向量所生成的。2确定的分解其中是任意常数。子空间是由向量所张成的。解之得到根据公式(5.52)，3求满足初始条件的解

7、为4求出expAt依次令得到三个线性无关的解。以这三个解作为列，得5求通解x(t)=(expAt)c作业P.236,第4(c),5(b)题。求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之三利用若当标准型计算基解矩阵Axp(At)根据线性代数知识,对每一个n阶矩阵A,存在n阶非奇异矩阵P,使得其中为若当标准型.假设若当块则是阶的有如下分解式第一个矩阵具有形式,第二个矩阵是幂铃矩阵,由于矩阵和任何矩阵可以交换,因此有由此得到它的初等函数有限和的形式,即根据分块对角矩阵的运算可