甘肃中考数学总复习专项突破练4切线的性质与判定问题练习

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1、专项突破练4　切线的性质与判定问题1.(2018浙江湖州)如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是　　　　　. 答案70°解析∵△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,∴OB平分∠ABC,OD⊥BC,∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°,∴∠BOD=90°-∠OBD=70°.2.(2018江苏徐州)如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D.若∠C=18°,则∠CDA=　　　　　. 答案126°解析连接OD,则∠ODC=90°,∠COD=72°;∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=∠COD=36°,∴∠CDA

2、=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°.3.(2018内蒙古包头)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC=　　　　　. 答案115°解析连接OC,∵DC切☉O于C,∴∠DCO=90°,∵∠D=40°,∴∠COB=∠D+∠DCO=130°,∴的度数是130°,∴的度数是360°-130°=230°,∴∠BEC=×230°=115°.4.(2018湖南邵阳)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接BC.BC平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.证

3、明∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,∴OC∥BD,∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∵C在☉O上,∴CD为☉O的切线.5.(2018甘肃定西)如图,点O是△ABC的边AB上一点,☉O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D、F,且DE=EF.(1)求证:∠C=90°;(2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.(1)证明连接OE,BE,如图.∵DE=EF,∴.∴∠OBE=∠DBE.∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE.∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BC.∵☉O与边AC相切于点E,∴OE⊥AC.∴BC⊥AC.∴∠C=90°.(2)

4、解在△ABC中,∠C=90°,BC=3,sinA=,∴AB=5,设☉O的半径为r,则AO=5-r,在Rt△AOE中,sinA=,∴r=,∴AF=5-2×.6.(2018四川遂宁)如图,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C.D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.(1)证明∵☉O中,M点是半圆CD的中点,∴,∴∠CAM=∠DCM.又∵∠CMA=∠NMC,∴△AMC∽△CMN,∴,即CM2=MN·MA.(2)解连接OA,DM,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90

5、°,又∵∠P=30°,∴OA=PO=(PC+CO),设☉O的半径为r,∵PC=2,∴r=(2+r),解得r=2,又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,∵CM=DM,∴△CMD是等腰直角三角形,∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,即2CM2=(2r)2=16,则CM2=8,∴CM=2.7.(2018湖南郴州)已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.(1)证明如图,∵∠AEC=30°,∴∠ABC=30°,∵AB=AD,∴∠D=∠ABC=3

6、0°,根据三角形的内角和定理得,∠BAD=120°,连接OA,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°,∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.(2)解连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°,∵BC⊥AE于点M,∴AE=2AM,∠OMA=90°,在Rt△AOM中,AM=OA·sin∠AOM=4×sin60°=2,∴AE=2AM=4.8.(2018新疆乌鲁木齐)如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的☉O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.(1)求证:直线BC是☉O的切线;(2)若AC=2

7、CD,设☉O的半径为r,求BD的长度.(1)证明连接OD,∵AG是∠HAF的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在☉O上,∴直线BC是☉O的切线.(2)解在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,连接DE,∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,由∠CA