《3.1.5空间向量运算的坐标表示》课件3

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1、3.1.5空间向量运算的坐标表示共面向量基本定理:如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使复习引入：因此，平面内的任意一个向量，我们都可以用与该平面平行的两个不共线的向量的线性组合来表示(称为该平面的一组基底)空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使得：叫做空间的一个______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底思考：基底能不能含有零向量？一、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交

2、基底，常用i，j，k来表示.点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k.以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijkzxxkw二、向量的直角坐标=(123)给定一个空间直角坐标系和向量，且设i、j、k为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(1，2，3)使=1i+2j+3k有序数组(1，2，3)叫

3、做在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.xyzOA(a1，a2，a3)ijk学.科.网在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A，对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使OA=xi+yj+zk在单位正交基底i，j，k中与向量OA对应的有序实数组(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x，y，z)ijk即向量如果起点平移到原点，那么它的坐标表示就是其终点的坐标练习1如图建立直角坐标系，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，求正方体各顶点的坐标zxyABCDA1B

4、1C1D1一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基底，进而确定各向量的坐标.练习2如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ三、向量的直角坐标运算YXZABCDEF例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是BB1

5、、CD的中点，求证：D1F平面ADE例1已知=(2，-3，5)，=(-3，1，-4)，求+，-，8，四、距离与夹角1.距离公式(1)向量的长度(模)公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、，则(2)空间两点间的距离公式(2)、两个向量夹角公式注意：(1)当时，　　　同向；(2)当时，　　　反向；(3)当时，.思考：当及时，夹角在什么范围内？练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：三、应用举例例1已知　　　　、　　　　，求：(1)线段　　的中点坐标和长度；解：设　　　　　是

6、　　的中点，则∴点　的坐标是.(2)到　　　两点距离相等的点　　　　　的坐标　　　　满足的条件.解：点　　　　到　　　的距离相等，则化简整理，得即到　　　两点距离相等的点的坐标　　　　满足的条件是例2如图，在正方体　　　　　　　中，，求　　与　　所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系　　　　，则例2如图，在正方体　　　　　　　中，，求　　与　　所成的角的余弦值.练习二：练习三：思考题：四、课堂小结：1.基本知识：(1)向量的长度公式与两点间的距离公式；(2)两个向量的夹角公式.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可

7、以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.