《1.1 合情推理》 导学案

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《1.1合情推理》导学案课程学习目标1.结合已学过的数学实例和生活实例，了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，培养学生的类比推理能力.课程导学建议重点:了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理，作出猜想.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境历史上，人们提出过许多永动机的设计方案，有人采用“螺旋汲水器”的原理，有人利用轮子惯性原理，有人利用水的浮力或毛细作用的原理，但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.知识导学问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机？通过大量失败的例子归纳推理得到的，并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们把这种推理方式称为　归纳推理　. 它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由　个别　到　一般　的推理. ②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的，但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为　类比推理　. 它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性，是一种从　特殊　到　特殊　的推理. ③类比的结果不一定正确，但它却有发现的功能. 问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理:①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想.类比推理的一般思维过程:观察、比较→联想、类推→猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的　合情　推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 尽管合情推理的结果　不一定　正确，但是，在数学、科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常重要的价值，它是科学发现和创造的基础. 知识链接数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边，根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为，历史上如果三个割据势力并存，就形成了三足鼎立，这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者，被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后，两边之和大于第三边，稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和，三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想，使抽象的道理具体化，使论述更加形象，收到了良好的表达效果.基础学习交流1.数列{an}的前四项为，1，，，由此可以归纳出该数列的一个通项公式为(　　).[来源:学科网]A.an=　　　　　　　　B.an=C.an=D.an=【解析】将前四项分别写成，，，，即可作出归纳，通项公式为an=，故选B.【答案】B 2.由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n项可能是(　　).A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知点A(x1，)、B(x2，)是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知，若点C(x1，lgx1)、D(x2，lgx2)是函数y=lgx(x>0)的图像上的不同两点，则类似地有　　　　成立. 【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方，所以有1，n∈N+)，则f3(x)的表达式为　　　　，猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为　　　　　　. 【方法指导】写出f1(x)，f2(x)，f3(x)，观察fn(x)的特点，从而归纳出fn(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==，f3(x)=f2[f2(x)]==，…，由此猜想fn(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=　fn(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.探究二利用类比推理猜想结论在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19，n∈N+)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式　　　　　　　成立. 【方法指导】寻找类比对象，理解等差数列性质，结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq)；等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq). 由此，猜测本题的答案为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17，n∈N+).【答案】b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17，n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象，理解类比前问题成立的条件也是个关键.探究三通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n，即1+2+3+…+n=.类比上述求法，请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1，再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n)+n，所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理，其关键就是注重本质的推导方式，通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.思维拓展应用应用一(1)设函数f(x)=(x>0)，观察:f1(x)=f(x)=，f2(x)=f(f1(x))=，f3(x)=f(f2(x))=，f4(x)=f(f3(x))=，……根据以上事实，由归纳推理可得: 当n∈N+且n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))=　　　　. (2)观察下列等式:13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为　. 【解析】(1)观察给定的各个函数解析式，可知分子都为x，分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2，4，8，16，…，这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n，x的系数比常数少1即为2n-1，因此fn(x)=f(fn-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+…+(i+1)的平方，所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)　(2)13+23+33+43+53+63=212应用二下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”；②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sinA+sinB”；③由“=(a>0，b>0，c>0)”类比得到“=(a>0，b>0，c>0)”；④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”.其中，正确结论的个数为(　　).A.0　　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3【解析】当c≤0时，①类比的结论不正确；②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误；③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误，即类比推理的结论不一定正确；④类比的结论是正确的.【答案】B应用三在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，求它们的体积之比.【解析】由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证，假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面体ABCD的棱长为1，取BC的中点E，作AO⊥ED于O，则OD=ED=×=，又在Rt△AOD中，AO===， 则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理，可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.故V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.第三层级技能应用与拓展基础智能检测1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于(　　).1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110　　　　　　B.1111111C.1111112D.1111113【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体(　　).A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N+)，可以猜测数列的通项an的表达式为　　　　. 【答案】an=(n∈N+)4.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想.　　 【解析】在△DEF中，由正弦定理得==，于是类比三角形中的正弦定理，在四面体S-ABC中，猜想:==.全新视角拓展　　(2013年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律，第n个等式可为　　　　. 【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{an}，∵a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，an-an-1=n，以上所有等式相加可得an-a1=2+3+4+…+n，即an=1+2+3+…+n=，再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·第四层级总结评价与反思思维导图建构学习体验分享    固学案 基础达标检测1.观察(x2)'=2x，(x4)'=4x3，(cosx)'=-sinx，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于(　　).A.f(x)　　　B.-f(x)　　　C.g(x)　　　D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(-x)=-g(x)，故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子，若按这种规律从左往右排起来，则第36颗珠子的颜色为(　　).A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体，即5个珠子一个周期，故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2，+<2，+<2，根据以上不等式的规律，写出对正实数m，n成立的条件不等式:　　　　　　　　. 【答案】当m+n=20时，有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13　57　9　1113　15　17　19……按照以上规律的排列，求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数，加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数，故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.基本技能检测5.观察下列各式:72=49，73=343，74=2401，…，则72014的末两位数字为(　　).A.01B.43C.07D.49【解析】∵75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，…，发现74k-2的末两位数字为49，74k-1的末两位数为43，74k的末两位数为01，74k+1的末两位数为07，k∈N+，∵72014=74×504-2，∴末两位数为49. 【答案】D6.观察式子:1+<，1++<，1+++<，…，则可归纳出的式子为(　　).A.1+++…+<(n≥2)B.1+++…+<(n≥2)C.1+++…+<(n≥2)D.1+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中，△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图)，DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到类比的结论是　　　　. 【答案】=8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且Sn-1++2=0(n≥2，n∈N+)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.【解析】当n=1时，S1=a1=-；当n=2时，=-2-S1=-，∴S2=-；当n=3时，=-2-S2=-，∴S3=-；当n=4时，=-2-S3=-，∴S4=-；猜想:Sn=-(n∈N+).技能拓展训练9.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有　　　　　　　　　　　　也成等差数列，且该等差数列的公差为　　　　. 【答案】S20-S10，S30-S20，S40-S30　30010.在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S满足=an(Sn-).(1)求，，，并求(不需证明)；(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时，由an=Sn-Sn-1和=an(Sn-)，得=(Sn-Sn-1)(Sn-)，即=2+，所以=2+=2+1=3，=2+=5， =2+=7，……=2+=2n-1.(2)由(1)知Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，显然a1=1不符合上述表达式，所以数列{an}的通项公式为an=