《2.1.1 曲线与方程》教学案3

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1、《2.1.1曲线与方程》教学案3一、教学目标(一)知识教学点使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础．(二)能力训练点在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．(三)学科渗透点从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育．二、教材分析1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初

2、步运用，巩固提高；给出推论，升华定义．)2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．(解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系．)3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用．(解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概念又是概念的应用．)三、活动设计提问、讲授、讨论、引导、练习．四、教学过程(一)复习提问，引出课题

3、1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆命题与否命题两两等价．学生给出解答如图2-1．本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程．大家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就是方程的任一解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础．那么曲线和方程之间应有什么对应关系呢？这是本次课要研究的问题．课题是“曲线和方程”．(二)运用例子，揭示内涵例1　已知A(-2，-1)，B(3，

4、5)，求线段AB中重线上点的坐标满足的关系．解：如图2-2，设动点坐标为P(x，y)．则由定义可知

5、PA

6、=

7、PB

8、．　(1)　　　　　　　　　　(2)平方并化简得：10x+29y-29=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)故(3)就是AB中垂线所满足的关系．事实上，一方面，AB中垂线上任一点P和A、B两点等距离，它符合条件(1)，即P点坐标是方程(2)的解，也是方程(3)的解；另一方面，方程(3)的一组解(x，y)，也是(2)的解即符合条件(1)，以(x，y)为坐标的点P必在AB的中垂线上．由上可知，A

9、B中垂线上点的坐标都是方程(3)的解；反之，以方程(3)的解为坐标的点都是AB中垂线上的点．例2　用下列方程表示如图2-3所示的直线C，对吗？为什么？上题供学生思考，口答．方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．第即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方

10、程的电的坐标．曲线是由点组成的，二元解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是图2-4的三种情况．上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1，又观察、分析了例2中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系．如果我们把例1中这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，那么，我们完全有条件给“曲线方程”下定义了．(三)讨论归纳，得出定义讨论题：在下定义时，针对例2(1)中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及(2)中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲

11、线的方程应作何规定？学生口答，老师顺其自然地给出定义．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．(四)变换表达，强化理解曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F．请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“

12、曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义．关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：(五)初步运用，巩固提高例3　解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义