《2.1.1 曲线与方程》教学案2

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1、《2.1.1曲线与方程》教学案2一、教学目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。2、在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。3、通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；学生通过观

2、察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。二、教学重点和难点：1、教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。2、教学难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。三、教学方法：1、引导探索、发现规律。通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系，来得出曲线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。2、尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。四、教学活动过程：1、承上启下，提出课题师：我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面

3、直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。下面看一个具体的例子：例1：画出方程表示的直线y(1)（2）借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系。类比方程与如图所示的抛物线。这条抛物线是否与这个二元方程也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。（板书课

4、题）现在请同学们思考这样的问题：方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示着方程,为什么要具备这些条件？2、运用反例，揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列例题。例2:用下列方程表示如图所示的曲线C，对

5、吗？为什么？（1）（2）（3）（学生思考，回答）师：方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C的方程。第（1）题中曲线C上的点不全是方程的解。例如点，等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线C上。例如、等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程的解坐标的点，如、等不在曲线C上，又有曲线C上的点，如、等的坐标不是方程的解。师：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所

6、建立的不完整的对立关系。假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。3、讨论归纳，得出定义师：在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？（学生口答）师：为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定““曲线上的点的坐标都是方程的解”（板书）；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”（板书）这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角

7、坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。4、变换表达，强化理解师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F。请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。（学生思考、口答）师：关系（