《3.1.1 特征值与特征向量》习题3

《《3.1.1 特征值与特征向量》习题3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《3.1.1特征值与特征向量》习题3一、填空题1．矩阵A＝的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________．2.已知A＝，则矩阵A的特征多项式为________．3.矩阵A＝的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”)．4.已知A＝，α＝，则A20α＝________.二、解答题1．设矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)求矩阵M的特征值．2.(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．3.已知二阶矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为，属

2、于特征值2的一个特征向量为，求矩阵A.4.已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M.5.已知α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M＝，α＝，且a＋b＋m＝3，求a，b，m的值．答案一、填空题1、【解析】　因为＝＝3，∴它的一个特征值为3，特征向量为.【答案】　3　2．【解析】　特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.【答案】　λ2－4λ＋33．【解析】　∵＝，∴α1＝.又＝＝2，∴α2＝，∴α1与α2不共线．【答案】　　　不共线4．【解析】　矩阵A＝的属于特征

3、值λ1＝1的特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝的特征向量α2＝.由α＝sα1＋tα2，得＝s＋t，s＝1，t＝3，∴A20＝1×120×＋3××＝＋＝.【答案】　二、解答题1.【解】　(1)矩阵A＝(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1＝所以矩阵M的逆矩阵M－1＝.(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ－5.令f(λ)＝0，得到M的特征值为－1或5.2．【解】　因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3．【解】　设A＝，由题意知＝，＝，即

4、解得∴A＝.4．【解】　设M＝，则＝3＝，故联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝.5．【解】　因为α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即＝3，所以由a＋b＋m＝3，解得a＝，b＝，m＝－.